有理化

数学において、有理化（ゆうりか、テンプレート:Lang-en-short）とは、根号を含む式（とくに平方根を含む分数式の分母または分子）から根号を取り除く式変形のことである。根号を持つ無理数（代数的無理数）を有理数に変える操作であることからこの名がある。

概要

有理化をすることで計算がしやすくなったりする。例えば分母の有理化

$\frac{1}{2+\sqrt{3}}=\frac{1(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=\frac{2-\sqrt{3}}{4-3}=2-\sqrt{3}$

などがあげられる。

抽象代数学的にはこの例は、$\mathbb{Q}$ を有理数体、$d\in \mathbb{Q}$ が有理数の平方ではないとしたとき

$\mathbb{Q}(\sqrt{d})=\left\{\frac{a+b\sqrt{d}}{a^{\prime }+b^{\prime }\sqrt{d}}\right|a,a^{\prime },b,b^{\prime }\in \mathbb{Q}\}$

という $\mathbb{Q}$ の二次拡大体を考えると、

$\mathbb{Q}(\sqrt{d})=\mathbb{Q}[\sqrt{d}](=\{a+b\sqrt{d}\mid a,b\in \mathbb{Q}\})$

が成り立つ、という主張に一般化できる。

これは $K=\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ の各元 $a+b\sqrt{d}$ に対し、その拡大 $K/\mathbb{Q}$ に関する共役元 $a-b\sqrt{d}$ を掛ければ

$N(a+b\sqrt{d}):=(a+b\sqrt{d})(a-b\sqrt{d})=a^2-b^{2}d$

（この $N(a+b\sqrt{d})$ は $a+b\sqrt{d}$ の（拡大 $K/\mathbb{Q}$ に関する）ノルムと呼ばれる。）が $\mathbb{Q}$ に属すということからまさに有理化によって 証明されるわけである。

一般に、体 K の（有限次ガロア）拡大体 L の元に対し、その元の拡大 L/K に関する共役元（二次拡大ではただ一つだが、一般には複数ある）をすべて掛け合わせたものを、その元のノルムとよぶが、ノルムは下の体 K に属する。したがって同様のこと、つまり有理化は共役元が全て計算できるならば、二次拡大に限らず行える。

実数化

$\mathbb{Q}$ 以外の体の拡大についても同様のことができる。たとえば、$\mathbb{Q}$ を実数体 $ℝ$ にとりかえ、d = −1 としてみよう。

$ℂ=ℝ(\sqrt{-1})=\{a+b\sqrt{-1}\mid a,b\in ℝ\}$

（ここで、$\sqrt{-1}$ は虚数単位のことである。）であって、各元（つまり複素数）$\alpha =a+b\sqrt{-1}$ の $ℂ/ℝ$ に関する共役元とは、共役複素数 $a-b\sqrt{-1}$ のことであるということに注意して、そのノルムを計算すると

$N(\alpha )=\alpha \overline{\alpha }=(a+b\sqrt{-1})(a-b\sqrt{-1})=a^2+b^2$

は $ℝ$ に属する。したがってたとえば、

$\frac{1}{2+\sqrt{-1}}=\frac{1(2-\sqrt{-1})}{(2+\sqrt{-1})(2-\sqrt{-1})}=\frac{2-\sqrt{-1}}{4+1}=\frac{2-\sqrt{-1}}{5}$

などの変形が可能である。このような変形を（分母の）実数化ということがある。