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'''有理根定理'''（ゆうりこんていり、{{lang-en-short|rational root theorem}}）は[[整数]]係数の[[代数方程式]]
:<math>a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0 = 0</math>
の[[有理数]]の解に対する制約を述べた定理である。有理根定理は次のような言明である：

定数項 {{math|''a''<sub>0</sub>}} および最高次の係数 {{mvar|a<sub>n</sub>}} がゼロでないなら、有理数解 {{math|''x'' {{=}} ''p''/''q''}} を[[互いに素 (整数論)|互いに素]]（[[最大公約数]]が {{math|1}}）な整数 {{mvar|p, q}} で表したとき、{{mvar|p, q}} は以下の条件を満たす。
* {{mvar|p}} は {{math|''a''<sub>0</sub>}} の[[約数]]
* {{mvar|q}} は {{mvar|a<sub>n</sub>}} の約数

有理根定理は、[[多項式]]の[[因数分解]]に関する{{仮リンク|ガウスの補題 (多項式)|label=ガウスの補題|en|Gauss's lemma (polynomial)}}の特別な場合に当たる。また、最高次の係数 {{mvar|a<sub>n</sub>}} が {{math|1}} であるとき成り立つ'''整数根定理''' {{en|(integral root theorem)}} は、有理根定理の特別な場合である。

== 証明 ==
=== 直接的な証明 ===
{{math|''P''(''x'') {{=}} ''a''<sub>''n''</sub>''x''<sup>''n''</sup> + ''a''<sub>''n''&minus;1</sub>''x''<sup>''n''&minus;1</sup> + ... + ''a''<sub>1</sub>''x'' + ''a''<sub>0</sub> (''a''<sub>0</sub>, ..., ''a''<sub>''n''</sub> &isin; '''Z''')}} なる[[多項式]]を考える。[[互いに素 (整数論)|互いに素]]な {{math|''p'', ''q'' &isin; '''Z'''}} に対して {{math|''P''(''p''&thinsp;/&thinsp;''q'') {{=}} 0}} を満たすことを仮定する：
{{NumBlk|:|<math>P\left(\tfrac{p}{q}\right) = a_n\left(\tfrac{p}{q}\right)^n + a_{n-1}\left(\tfrac{p}{q}\right)^{n-1} + \cdots + a_1\left(\tfrac{p}{q}\right) + a_0 = 0.</math>|{{equationRef|1}}}}

{{equationNote|1|(1)}} から定数項 {{math|''a''<sub>0</sub>}} を右辺へ[[移項]]し、両辺に {{mvar|q<sup>n</sup>}} を掛けることで以下の方程式を得る。
{{NumBlk|:|<math>\qquad p(a_np^{n-1} + a_{n-1}qp^{n-2} + \cdots + a_1q^{n-1}) = -a_0q^n.</math>|{{equationRef|2}}}}

{{mvar|p}} と括弧内の整数の積は {{math|&minus;''a''<sub>0</sub>''q''<sup>''n''</sup>}} に等しく、従って {{mvar|p}} は {{math|''a''<sub>0</sub>''q''<sup>''n''</sup>}} を割り切れることが分かる。しかしながら、{{mvar|p}} と {{mvar|q}} は互いに素であり、[[ユークリッドの補題]]から同様に {{mvar|p}} と {{mvar|q<sup>n</sup>}} も互いに素であるため、{{mvar|p}} は残る因数 {{math|''a''<sub>0</sub>}} を割り切ることが示される。

{{equationNote|1|(1)}} から最高次の項 {{math|''a<sub>n</sub>''(''p''/''q'')<sup>''n''</sup>}} を右辺へ移項し両辺に {{mvar|q<sup>n</sup>}} を掛けることで次の式を得る。
{{NumBlk|:|<math>\qquad q(a_{n-1}p^{n-1} + a_{n-2}qp^{n-2} + \cdots + a_0q^{n-1}) = -a_np^n.</math>|{{equationRef|3}}}}
{{mvar|p}} と {{math|''a''<sub>0</sub>}} の場合と同様の理由で、{{mvar|q}} は最高次の係数 {{mvar|a<sub>n</sub>}} を割り切ることが示される{{sfn|D. Arnold, G. Arnold|1993|pp=120–121}}。

=== ガウスの補題による証明 ===
多項式のすべての係数を割り切る非自明な約数がある場合、その多項式を係数の[[最大公約数]]で割った、{{仮リンク|ガウスの補題 (多項式)|label=ガウスの補題|en|Gauss's lemma (polynomial)}}の意味での原始多項式が得られる。この原始多項式の有理根は元の多項式と同じであり、可約条件だけが強められる。
ガウスの補題によれば、ある多項式が有理係数の多項式 {{math|ℚ[''X'']}} で[[因数分解]]できるなら、整係数の多項式 {{math|ℤ[''X'']}} で因数分解することができ、原始多項式の積として表すことができる。

{{math|ℚ[''X'']}} の 1 次の多項式が有理根 {{math|''p''/''q''}} を持つとき、{{mvar|p, q}} は互いに素であるとして、その多項式の原始多項式は {{math|''qx'' &minus; ''p''}} となる。
{{math|''qx'' &minus; ''p''}} を因数とする整係数多項式 {{math|ℤ[''X'']}} について、最高次の係数は {{mvar|q}} で割り切れ、定数項は {{mvar|p}} で割り切れるので、有理根定理が得られた。

この事はより一般に、多項式 {{mvar|P}} の可約でない因数は整係数を持つことができ、その最高次の係数と定数項が、対応する {{mvar|P}} の係数を割り切れることを示す。

== 例 ==
例として、方程式
:<math>3x^3 - 5x^2 + 5x - 2 = 0\,\!</math>
のいずれの有理根も
:<math>\pm\tfrac{1,2}{1,3}\,,</math>
に含まれなければならない。つまり、この方程式の根として可能なものは以下の 8 つである：
:<math>1, -1, 2, -2, \frac{1}{3}, -\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{2}{3}\,.</math>

これらの候補は例えば[[ホーナー法]]によってテストすることができる。今回の場合、正しい有理根は 1 つだけある。根の候補が方程式を満たさないなら、それを使って残る候補のリストを短縮できる{{sfn|King, Jeremy D.|2006|pp=455-456}}。例えば {{math|''x'' {{=}} 1}} は方程式を満たさず、方程式の左辺は {{math|1}} になる。
{{math|''x'' {{=}} 1 + ''t''}} という置き換えをすると定数項を {{math|1}} とし、{{math|''t''<sup>3</sup>}} の係数は {{math|''x''<sup>3</sup>}} の係数に等しい {{mvar|t}} の多項式が得られる。有理根定理を適用すれば、{{mvar|t}} として可能な根は
:<math>t=\pm\tfrac{1}{1,3}</math>
となる。従って、元の方程式の根の候補は次の通りである。
:<math>x = 1+t = 2, 0, \frac{4}{3}, \frac{2}{3}</math>
こうして得られた候補のリストと以前のリストを比較して、両者に存在しない候補は除外することができる。結局、候補のリストは {{math|''x'' {{=}} 2, 2/3}} に短縮される。

もし方程式の根の 1 つ {{math|''r''<sub>1</sub>}} が発見されたなら、ホーナー法によって {{math|''n'' &minus; 1}} 次の多項式の根が得られる。これらの根は、{{math|''r''<sub>1</sub>}} とともに、元の多項式の正確な根になっている。
また、いずれの候補も根でなかった場合、方程式は有理根を持たない。
定数項 {{math|''a''<sub>0</sub>}} がゼロの方程式は有理根として {{math|0}} を持つ。

== 関連項目 ==
*[[デカルトの符号法則]]
*{{仮リンク|ガウス・リュカの定理|en|Gauss–Lucas theorem}}
*{{仮リンク|多項式の根の性質|en|Properties of polynomial roots}}

== 脚注 ==
<references/>

== 参考文献 ==
*{{cite book|author=D. Arnold, G. Arnold|title=Four unit mathematics|publisher=Edward Arnold|year=1993|isbn=0-340-54335-3|ref=harv}}
*{{cite journal|author=King, Jeremy D.|title=Integer roots of polynomials|journal=Mathematical Gazette|volume=90|date=2006-11|ref=harv}}
*Charles D. Miller, Margaret L. Lial, David I. Schneider: ''Fundamentals of College Algebra''. Scott & Foresman/Little & Brown Higher Education, 3rd edition 1990, ISBN 0-673-38638-4, pp.&nbsp;216–221
*Phillip S. Jones, Jack D. Bedient: ''The historical roots of elementary mathematics''. Dover Courier Publications 1998, ISBN 0-486-25563-8, pp.&nbsp;116–117  ({{Google books|7xArILpcndYC|online copy|page=116}}) 
*Ron Larson: ''Calculus: An Applied Approach''. Cengage Learning 2007, ISBN 978-0-618-95825-2, pp.&nbsp;23–24  ({{Google books|bDG7V0OV34C|online copy|page=23}})

== 外部リンク ==
*{{MathWorld|urlname=RationalZeroTheorem|title=Rational Zero Theorem}}
*[https://web.archive.org/web/20110628232429/http://planetmath.org/encyclopedia/RationalRootTheorem.html ''RationalRootTheorem''] at [[PlanetMath]]
* [http://www.cut-the-knot.org/Generalization/RationalRootTheorem.shtml Another proof that n<sup>th</sup> roots of integers are irrational, except for perfect nth powers] by Scott E. Brodie
*[http://www.purplemath.com/modules/rtnlroot.htm ''The Rational Roots Test''] at purplemath.com

{{DEFAULTSORT:ゆうりこんていり}}
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[[Category:多項式]]
[[Category:数学に関する記事]]