有界級数空間のソースを表示

[[数学]]の[[函数解析学]]の分野における'''有界級数'''（ゆうかいきゅうすう、{{lang-en-short|bounded series}}）の空間 '''{{mvar|bs}}''' は、その部分和（{{en|'''s'''eries}}; 有限級数）の列が[[有界数列|有界]] ({{en|'''b'''ounded}}) となるような[[実数|実]]または[[複素数|複素]]無限[[数列]]全体の成す[[数列空間]]として <math style="display: block; margin: 1ex auto 1ex 2em;">\mathit{bs} := \left\{ x = (x_n) : \|x\|_\mathit{bs} = \sup_n\left|\sum_{i=1}^n x_i\right| < \infty\right\}</math> で与えられる。この空間 {{mvar|bs}} は{{仮リンク|成分ごとの演算|en|componentwise operation|label=項ごとの和とスカラー倍}}に関して[[ベクトル空間]]を成し、[[ノルム]] {{math|{{norm|&bull;}}{{msub|''bs''}}}} を与えて[[ノルム空間]]の構造を持つ。さらに {{mvar|bs}} はこのノルムの誘導する[[距離函数|距離]]に関して[[完備距離空間|完備]]、従って[[バナッハ空間]]となる。

{{mvar|bs}} の部分空間として、[[収斂級数]] ({{en|'''c'''onvergent '''s'''eries}}) の空間 '''{{mvar|cs}}'''は、その和（[[無限級数]]）が収斂（{{仮リンク|条件収斂|en|conditional convergence}}でもよい）する無限数列全体の成す数列空間 <math style="display: block; margin: 1ex auto 1ex 2em;">\mathit{cs} := \left\{ x = (x_n) \in \mathit{bs} : \sum_{i=1}^\infty x_i < \infty\right\}</math> を言う。{{mvar|cs}} は、バナッハ空間 {{mvar|bs}} の（ノルム {{math|{{norm|&bull;}}{{msub|''bs''}}}} に関する）[[閉集合|閉]][[部分線型空間|部分空間]]となるから、それ自身バナッハ空間を成す。

空間 {{mvar|bs}} は[[有界数列]]の空間 [[ルベーグ空間|{{mvar|ℓ{{sup|∞}}}}]] に、写像 <math style="display: block; margin: 1ex auto 1ex 2em;">T\colon (x_1,x_2,\ldots) \mapsto (x_1,x_1+x_2,x_1+x_2+x_3,\ldots)</math> を通じて[[等長写像|等距]][[同型]]であり、さらに同じ写像 {{mvar|T}} によって {{mvar|cs}} は[[収斂数列の空間]] {{mvar|c}} に等距同型となる。

== 参考文献 ==
* {{citation|first1=N.|last1=Dunford|first2=J.T.|last2=Schwartz|title=Linear operators, Part I|publisher=Wiley-Interscience|year=1958}}.

{{DEFAULTSORT:ゆうかいきゆうすうくうかん}}
[[Category:バナッハ空間]]
[[Category:数列空間]]
[[Category:数学に関する記事]]
{{mathanalysis-stub}}