有界級数空間

数学の函数解析学の分野における有界級数（ゆうかいきゅうすう、テンプレート:Lang-en-short）の空間 テンプレート:Mvar は、その部分和（テンプレート:En; 有限級数）の列が有界 (テンプレート:En) となるような実または複素無限数列全体の成す数列空間として $𝑏𝑠:=\{x=(x_n):\Vert x{\Vert }_{𝑏𝑠}=\underset{n}{\sup }\left|\sum _{i=1}^n{x}_i\right|<\mathrm{\infty }\}$ で与えられる。この空間 テンプレート:Mvar はテンプレート:仮リンクに関してベクトル空間を成し、ノルム テンプレート:Math を与えてノルム空間の構造を持つ。さらに テンプレート:Mvar はこのノルムの誘導する距離に関して完備、従ってバナッハ空間となる。

テンプレート:Mvar の部分空間として、収斂級数 (テンプレート:En) の空間 テンプレート:Mvarは、その和（無限級数）が収斂（テンプレート:仮リンクでもよい）する無限数列全体の成す数列空間 $𝑐𝑠:=\{x=(x_n)\in 𝑏𝑠:\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_i<\mathrm{\infty }\}$ を言う。テンプレート:Mvar は、バナッハ空間 テンプレート:Mvar の（ノルム テンプレート:Math に関する）閉部分空間となるから、それ自身バナッハ空間を成す。

空間 テンプレート:Mvar は有界数列の空間 [[ルベーグ空間|テンプレート:Mvar]] に、写像 $T:(x_1,x_2,\dots )\mapsto (x_1,x_1+x_2,x_1+x_2+x_3,\dots )$ を通じて等距同型であり、さらに同じ写像 テンプレート:Mvar によって テンプレート:Mvar は収斂数列の空間 テンプレート:Mvar に等距同型となる。

参考文献

• テンプレート:Citation.