有限ベクトル空間のソースを表示

{{複数の問題
| 出典の明記 = 2019年6月
| 単一の出典 = 2019年6月9日 (日) 06:04 (UTC)
}}
[[線型代数学]]における'''有限ベクトル空間'''（ゆうげんベクトルくうかん、{{Lang-en-short|''finite vector space''}}）は、[[濃度 (数学)|濃度]]が有限（つまり[[有限集合]]）なベクトル空間を言う&mdash;そのような空間は（[[零ベクトル空間]]を除けば）[[有限体]]上の[[有限次元]]ベクトル空間に他ならない{{Efn|無限体を含めた任意の体上で零ベクトル空間 {{math|{{mset|0}}}} は、濃度が {{math|1}} であり、また[[空集合]] {{math|∅}} で生成される零次元ベクトル空間と見なせるが、ふつうはこれは除外して考える。}}。有限ベクトル空間の基底の総数や[[線型部分空間|部分空間]]の総数などを求めることは[[組合せ論]]に属する問題である。有限ベクトル空間上の線型代数学は有限体の分類に有効な道具立てを与える。[[線型符号]]には有限ベクトル空間の概念が応用されている。

== 準備 ==
{{mvar|E}} は[[可換体|体]] {{math|𝕂}} 上のベクトル空間とする。{{math|''E'' &ne; {{mset|0}}}} ならば、{{math|𝕂}} は適当な {{math|''u'' ∈ ''E''}} の[[線型包|生成する]]{{仮リンク|ベクトル直線|fr|droite vectorielle|label=一次元部分空間}} {{math|𝕂''u''}} に[[等濃]] である&mdash;これらの間の全単射は {{math|𝕂}} に属する各スカラー {{mvar|k}} を {{mvar|u}} の左スカラー {{mvar|k}}-倍 {{mvar|ku}} に写す写像で与えられる。ゆえに {{mvar|E}} が有限ならば {{math|𝕂}} も有限であり、また含むベクトルの数が有限となるには {{mvar|E}} は {{math|𝕂}} 上有限次元でなければならない。

逆に、{{mvar|E}} が有限体 {{math|𝕂}} 上[[有限次元|有限 {{mvar|n}}-次元]]ならば、{{mvar|E}} は[[数ベクトル空間]] {{math|𝕂{{sup|''n''}}}} に[[線型同型|同型]]であり、その濃度は <math display="block">|E|=|\mathbb{K}|^n</math> と評価できる<ref>{{PlanetMath |urlname= DimensionFormulaeForVectorSpaces#Sx4 |title= dimension formulae for vector spaces §Cardinality of a vector space}}</ref>。

== 有限ベクトル空間の基底 ==
{{See also|一般線型群#有限一般線型群の位数}}
{{math|𝕂}} を {{mvar|q}}-元体（元の数が {{mvar|q}} の[[有限体]]）とし {{mvar|E}} が {{math|𝕂}} 上 {{mvar|n}}-次元とすれば、{{mvar|E}} の非零ベクトルはちょうど {{math|''q{{Sup|n}}'' – 1}} 個ある。{{mvar|E}} の[[基底 (線型代数学)|基底]]&mdash;{{mvar|n}} 個の[[線型独立]]なベクトルからなる[[族 (数学)|族]]&mdash;は、以下のような手順の有限回の繰り返しで構成することができる:
{| class="wikitable" style="align: center; margin: 1ex auto;"
|-
! 基底ベクトルの候補の選び方 || 選び方の数
|-
| 第一の基底ベクトルとして、[[零ベクトル]]でない任意のベクトル {{math|''v''{{sub|1}}}} を選ぶ || {{math|''q{{Sup|n}}'' – 1}} 通り
|-
| 第二の基底ベクトルとして {{math|''v''{{sub|1}}}} と[[共線]]でない任意のベクトル {{math|''v''{{sub|2}}}} を選ぶ || {{mvar|q{{Sup|n}} – q}} 通り
|-
| 第三の基底ベクトルとして {{math|''v''{{sub|1}}, ''v''{{sub|2}}}} の[[線型包|張る]][[共面|平面上に]]ない任意のベクトル {{math|''v''{{sub|3}}}} を選ぶ || {{math|''q{{Sup|n}}'' – ''q''{{Sup|2}}}} 通り
|- style="text-align: center;"
| 以下同様に…… || {{math|⋮}}
|-
| 最後の基底ベクトルとして {{math|''v''{{sub|1}}, ''v''{{sub|2}}, …, ''v''{{sub|''n''–1}}}} の張る[[超平面]]上にない任意のベクトル {{mvar|v{{sub|n}}}} を選ぶ || {{math|''q{{Sup|n}}'' – ''q''{{Sup|''n''–1}}}} 通り
|}

ゆえに {{mvar|E}} の基底の総数は <math display="block">(q^n-1)(q^n-q)(q^n-q^{2})\dotsb(q^n-q^{n-1})</math> となる。同じ理由で、{{mvar|k}} 個の線型独立なベクトルからなる族の総数が <math display="block">(q^n-1)(q^n-q)(q^n-q^2)\dotsb(q^n-q^{k-1})</math> で求まることもわかる。このような族は {{mvar|E}} の {{mvar|k}}-次元部分空間を生成し、また任意の {{mvar|k}}-次元部分空間がこれらの族から生成されることが言えるが、ひとつの {{mvar|k}}-次元部分空間はその基底のとり方の分だけ重複して数えられることに注意する。よって、[[羊飼いの補題]] により {{mvar|E}} の {{mvar|k}}-次元部分空間の総数は[[q-二項係数|ガウスの二項係数]] <math display="block">\binom{n}{k}_{\!q} = \frac{(q^n-1)(q^n-q)(q^n-q^2)\dotsb(q^n-q^{k-1})}{(q^k-1)(q^k-q)(q^k-q^{2})\dotsb(q^k-q^{k-1})}</math> で与えられる。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
=== 注釈 ===
{{Notelist}}
=== 出典 ===
{{Reflist}}

== 関連項目 ==
* [[線型符号]]
* {{仮リンク|有限ベクトル空間上の調和解析|fr|Analyse harmonique sur un espace vectoriel fini}}
* [[基本アーベル群]]
* {{仮リンク|ベクトル空間の例|en|examples of vector spaces}}

== 外部リンク ==
{{ウィキポータルリンク|数学}}
* {{ProofWiki|urlname=Cardinality_of_Finite_Vector_Space|title=Cardinality of Finite Vector Space}}

{{DEFAULTSORT:ゆうけんへくとるくうかん}}
[[Category:ベクトル空間]]
[[Category:数学に関する記事]]