有限ベクトル空間

テンプレート:複数の問題 線型代数学における有限ベクトル空間（ゆうげんベクトルくうかん、テンプレート:Lang-en-short）は、濃度が有限（つまり有限集合）なベクトル空間を言う—そのような空間は（零ベクトル空間を除けば）有限体上の有限次元ベクトル空間に他ならないテンプレート:Efn。有限ベクトル空間の基底の総数や部分空間の総数などを求めることは組合せ論に属する問題である。有限ベクトル空間上の線型代数学は有限体の分類に有効な道具立てを与える。線型符号には有限ベクトル空間の概念が応用されている。

準備

テンプレート:Mvar は体 テンプレート:Math 上のベクトル空間とする。テンプレート:Math ならば、テンプレート:Math は適当な テンプレート:Math の生成するテンプレート:仮リンク テンプレート:Math に等濃 である—これらの間の全単射は テンプレート:Math に属する各スカラー テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar の左スカラー テンプレート:Mvar-倍 テンプレート:Mvar に写す写像で与えられる。ゆえに テンプレート:Mvar が有限ならば テンプレート:Math も有限であり、また含むベクトルの数が有限となるには テンプレート:Mvar は テンプレート:Math 上有限次元でなければならない。

逆に、テンプレート:Mvar が有限体 テンプレート:Math 上[[有限次元|有限 テンプレート:Mvar-次元]]ならば、テンプレート:Mvar は数ベクトル空間 テンプレート:Math に同型であり、その濃度は $$|E|=|𝕂{|}^n$$ と評価できる。

有限ベクトル空間の基底

テンプレート:See also テンプレート:Math を テンプレート:Mvar-元体（元の数が テンプレート:Mvar の有限体）とし テンプレート:Mvar が テンプレート:Math 上 テンプレート:Mvar-次元とすれば、テンプレート:Mvar の非零ベクトルはちょうど テンプレート:Math 個ある。テンプレート:Mvar の基底—テンプレート:Mvar 個の線型独立なベクトルからなる族—は、以下のような手順の有限回の繰り返しで構成することができる:

基底ベクトルの候補の選び方	選び方の数
第一の基底ベクトルとして、零ベクトルでない任意のベクトル テンプレート:Math を選ぶ	テンプレート:Math 通り
第二の基底ベクトルとして テンプレート:Math と共線でない任意のベクトル テンプレート:Math を選ぶ	テンプレート:Mvar 通り
第三の基底ベクトルとして テンプレート:Math の張る平面上にない任意のベクトル テンプレート:Math を選ぶ	テンプレート:Math 通り
以下同様に……	テンプレート:Math
最後の基底ベクトルとして テンプレート:Math の張る超平面上にない任意のベクトル テンプレート:Mvar を選ぶ	テンプレート:Math 通り

ゆえに テンプレート:Mvar の基底の総数は $$(q^n-1)(q^n-q)(q^n-q^2)\cdots (q^n-q^{n-1})$$ となる。同じ理由で、テンプレート:Mvar 個の線型独立なベクトルからなる族の総数が $$(q^n-1)(q^n-q)(q^n-q^2)\cdots (q^n-q^{k-1})$$ で求まることもわかる。このような族は テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar-次元部分空間を生成し、また任意の テンプレート:Mvar-次元部分空間がこれらの族から生成されることが言えるが、ひとつの テンプレート:Mvar-次元部分空間はその基底のとり方の分だけ重複して数えられることに注意する。よって、羊飼いの補題 により テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar-次元部分空間の総数はガウスの二項係数 $${(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}_q=\frac{(q^n-1)(q^n-q)(q^n-q^2)\cdots (q^n-q^{k-1})}{(q^k-1)(q^k-q)(q^k-q^2)\cdots (q^k-q^{k-1})}$$ で与えられる。

関連項目

• 線型符号
• テンプレート:仮リンク
• 基本アーベル群
• テンプレート:仮リンク

外部リンク

• テンプレート:ProofWiki