基本アーベル群

群論における基本アーベル群（きほんアーベルぐん、テンプレート:Lang-en-short; 初等アーベル群）または基本アーベルテンプレート:Mvar-群 (elementary abelian テンプレート:Mvar-group) は任意の非自明な元が位数テンプレート:Mvar であるような群（とくに有限群）を言う。このテンプレート:Mvar は素数でなければならず、任意の基本アーベル群は特別な [[p-群|テンプレート:Mvar-群]]となる^[1]テンプレート:Rp^[2]テンプレート:Rp。テンプレート:Math の場合、すなわち基本アーベルテンプレート:Math-群のことをブール群 (Boolean group) と呼ぶ場合がある^[3]テンプレート:Rp。

任意の基本アーベルテンプレート:Mvar-群は [[有限体|テンプレート:Mvar-元体]]上の有限次元ベクトル空間の構造を持ち、逆にそのようなベクトル空間は基本アーベル群となる。有限生成アーベル群の構造定理により、あるいは任意のベクトル空間が基底を持つという事実から、任意の有限基本アーベル群はテンプレート:Math（テンプレート:Mvar はこの群の階数と呼ばれる非負整数）の形になることがわかる。ここに、テンプレート:Math は位数テンプレート:Mvar の巡回群（あるいはテンプレート:Mvar を法とする整数の加法群）であり、上付き添字のテンプレート:Mvar はテンプレート:Mvar-重直積を表す^[2]テンプレート:Rp。一般に（有限とは限らない）基本アーベルテンプレート:Mvar-群は位数テンプレート:Mvar の巡回群の適当な個数の直和となる^[4]テンプレート:Rp（因子が有限個の場合には直積と直和は同じものであるが、無限の場合にはそうでないことに注意）

以下有限群の場合について述べる。

例と性質

基本アーベル群テンプレート:Math は四つの元テンプレート:Math からなる。加法は成分ごとにテンプレート:Math で計算すればよい（例えばテンプレート:Math）。実はこれはクラインの四元群である。
（必ずしも有限でない）集合の対称差によって生成される群は、任意の元が位数テンプレート:Math である。そのような群は、任意の元が自身を逆元に持つからアーベル群でなければならない: テンプレート:Math。そのような群（つまりブール群）はクラインの四元群の成分数を任意個にした一般化である。
テンプレート:Math はテンプレート:Mvar 元で生成され、テンプレート:Mvar は生成に必要な元の最低個数である。特に、集合テンプレート:Math を各テンプレート:Mvar は第テンプレート:Mvar-成分がテンプレート:Math でそのほかの成分がテンプレート:Mvar のベクトルとすれば、これは極小生成系を成す。
任意の基本アーベル群は極めて単純な有限表示を持つ: $(ℤ / p ℤ)^{n} ≅ ⟨ e_{1}, \dots, e_{n} ∣ e_{i}^{p} = 1, e_{i} e_{j} = e_{j} e_{i} ⟩ .$

テンプレート:Math を基本アーベル群とする。テンプレート:Math はテンプレート:Mvar-元体ゆえ、テンプレート:Math はテンプレート:Mvar-次元テンプレート:Math-ベクトル空間と見なせる。基本アーベル群が一般には標準基底を持たないことに注意すべきである—同型テンプレート:Math は基底のとり方に依存する。

注意深く議論を進めるならば、ベクトル空間テンプレート:Math が群テンプレート:Mvar よりも多くの構造をもともと備えていることは留意すべきである。特に群演算（加法）—それはベクトルの和と解釈できる—に加えて、スカラー倍が定まっている。しかし、アーベル群としてのテンプレート:Mvar は一意なテンプレート:Mathbf-加群構造—テンプレート:Mathbf の作用は各元の反復和に対応する—を持ち、このテンプレート:Mathbf-加群構造はテンプレート:Math によるスカラー乗法と両立する。すなわち、テンプレート:Math に対し（テンプレート:Mvar をテンプレート:Math なる整数に持ち上げて）テンプレート:Math（右辺はテンプレート:Mvar 個の和）とすればテンプレート:Mvar に自然なテンプレート:Math-加群構造が入る。

ベクトル空間としてのテンプレート:Mvar は基底テンプレート:Math を上で述べた通りに持つ。テンプレート:Mvar の任意のテンプレート:Mvar 個のベクトルテンプレート:Math を取るとき、線型代数学の知識を用いて写像テンプレート:Math はテンプレート:Mvar の線型変換に一意に拡張されることが示せる。そのようなテンプレート:Mvar の各々はテンプレート:Mvar からテンプレート:Mvar への群準同型としての自己準同型と見ることもできるし、線型変換としての自己準同型と見ることもできる。

自己同型群テンプレート:Math はベクトル空間の一般論によりテンプレート:Math に推移的に作用する。実はこれが任意の有限群の中で基本アーベル群を特徴付ける性質である。すなわち、テンプレート:Mvar が有限群でその単位元をテンプレート:Mvar とし、テンプレート:Math がテンプレート:Math に推移的に作用するならばテンプレート:Mvar は基本アーベル群である。（証明: テンプレート:Math がテンプレート:Math に推移的に作用するならば、テンプレート:Mvar の単位元でない任意の元は同じ位数を持ち、それは素数である必要があるから、テンプレート:Mvar はテンプレート:Mvar-群である。テンプレート:Mvar-群は非自明な中心を持つが、いまそれは任意の自己同型で不変であるからテンプレート:Mvar 全体に一致する。）

素数位数の成分を素冪位数の成分に取り換えることもまた意義のある考察である。すなわち基本アーベル群テンプレート:Mvar は適当な素数テンプレート:Mvar に対してテンプレート:Math を「型」に持つものと見なし、それを一般化する階数テンプレート:Mvar のテンプレート:Ill2 (homocyclic group; 同素巡回群)^[5]テンプレート:Rp は型テンプレート:Math のアーベル群、すなわち位数テンプレート:Mvar の群に同型なテンプレート:Mvar 個の群の直積として定める。