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有限可換群上の調和解析
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[[数学]]において'''有限可換群上の調和解析'''（ゆうげんかかんぐんじょうのちょうわかいせき、{{lang-fr-short|analyse harmonique sur un groupe abélien fini}}）とは[[有限アーベル群|有限可換群]]の上で行う[[調和解析]]のこと。 調和解析において定義される[[フーリエ変換]]や[[畳み込み]]の概念は[[プランシュレルの定理]]・[[パーセバルの等式]]・[[ポントリャーギン双対]]など多くの定理の枠組みである。群が有限で可換となる場合は理論が極めて単純となる。フーリエ変換は有限和となり、[[指標群|双対群]]はもとの群と[[同型]]になる。有限可換群上の調和解析は特に[[合同算術]]や[[情報理論]]において多くの応用がある。 == 背景 == この記事では {{mvar|G}} は[[位数]] {{mvar|g}} の[[可換群]]、{{math|'''C'''}} は[[複素数体]]、複素数 {{mvar|z}} に対して {{mvar|{{overline|z}}}} は[[複素共役]]とする。 === 関数空間 === 群 {{mvar|G}} 上の複素関数からなる集合 {{math|'''C'''{{sup|''G''}}}} 上において以下の構造を考える。 * 各点ごとの和とスカラー倍により集合 {{math|'''C'''{{sup|''G''}}}} は {{mvar|g}} 次元複素線型空間となり、標準基底は {{math|(''δ''{{sub|''s''}}){{sub|''s'' ∈ ''G''}}}} （ただし {{mvar|δ{{sub|s}}}} は[[デルタ関数]]を表す）で与えられる。関数 {{mvar|f}} の標準基底に関する座標は {{math|''f''(''s'')}} であり、これを {{mvar|f{{sub|s}}}} とも書く。 * 線型空間 {{math|'''C'''{{sup|''G''}}}} には自然な[[エルミート内積]]が :<math> \langle f | h \rangle = \frac{1}{g} \sum_s \bar f(s) h(s) </math> :により定義される。このエルミート内積は線型空間 {{math|'''C'''{{sup|''G''}}}} に[[エルミート形式|エルミート空間]]の構造を与え、これを {{math|''ℓ''{{sup|2}}(''G'')}} と書く。 * 線型空間 {{math|'''C'''{{sup|''G''}}}} には[[畳み込み]]と呼ばれる積が :<math> \bigg(\sum_s a_s \delta_s\bigg)*\bigg(\sum_t b_t \delta_t\bigg) = \sum_{s, t} a_s b_t \delta_{s + t} </math> :により定義される。この積は群の積を {{math|''δ''{{sub|''s''}} * ''δ''{{sub|''t''}} {{=}} ''δ''{{sub|''s'' + ''t''}}}} のように延長した演算になっている。畳み込みは線型空間 {{math|'''C'''{{sup|''G''}}}} に {{math|'''C'''}} [[体上の多元環|多元環]]の構造を与える。これを有限群 {{mvar|G}} の[[群多元環]]と呼び、{{math|'''C'''[''G'']}} と書く。 === 双対群 === {{詳細記事|指標群|l1=双対群}} 群 {{mvar|G}} から単数群 {{math|'''C'''*}} への[[準同型写像]]を {{mvar|G}} の[[指標 (数学)|指標]]と呼び、{{mvar|G}} の指標が各点ごとの積によりなす群 {{math|{{hat|''G''}}}} を双対群と呼ぶ。 乗法群 {{math|{{hat|''G''}}}} は加法群 {{mvar|G}} と（自然ではないが）同型となる。双対群 {{math|{{hat|''G''}}}} は線型空間 {{math|'''C'''{{sup|''G''}}}} に含まれ、エルミート空間 {{math|''ℓ''{{sup|2}}(''G'')}} の[[正規直交基底]]をなす。この事実は線型空間 {{math|'''C'''{{sup|''G''}}}} 上のエルミート内積の選び方を正当化する。任意の有限可換群は二重双対（双対の双対）と自然同型であり、この性質を一般に[[ポントリャーギン双対性]]という。 == 調和解析の理論 == === パーセバルの等式 === エルミート空間 {{math|''ℓ''{{sup|2}}(''G'')}} に属する元 {{mvar|a}} を正規直交基底 {{math|{{hat|''G''}}}} に関して :<math> a = \sum_\chi a_\chi \chi \qquad \bigg(a_\chi = \langle \chi | a \rangle = \frac{1}{g} \sum_s \bar \chi(s) a(s)\bigg) </math> と展開したとき[[パーセバルの等式]] :<math> \| a \|^2 = \sum_\chi |a_\chi|^2 </math> が成り立つ。 === フーリエ変換 === エルミート空間 {{math|''ℓ''{{sup|2}}(''G'')}} に属する元 {{mvar|a}} のフーリエ変換は :<math> \hat a(\chi) = g a_\chi = \sum_s \bar \chi(s) a(s) </math> により定義される関数 {{math|{{hat|''a''}} : {{hat|''G''}} → '''C'''}} である。フーリエ変換 {{math|{{hat|}} : ''ℓ''{{sup|2}}(''G'') → '''C'''{{sup|''G''}}}} は全単射であることが空間の次元比較と[[プランシュレルの定理]]からわかる。 === 畳み込み === フーリエ変換の定義で {{mvar|a{{sub|χ}}}} の {{mvar|g}} 倍を選んだことにより畳み込みとの整合性が得られる。 群多元環 {{math|'''C'''[''G'']}} に属する元 {{mvar|a}}, {{mvar|b}} に対して畳み込み {{math|''a'' * ''b''}} のフーリエ変換はフーリエ変換 {{math|{{hat|''a''}}}}, {{math|{{hat|''b''}}}} の積と一致する。つまり :<math> \widehat{a * b} = \hat a \hat b </math> が成り立つ。 === パーセバルの定理 === 全単射 {{math|{{hat|}} : ''ℓ''{{sup|2}}(''G'') → '''C'''{{sup|{{hat|''G''}}}}}} がエルミート空間の同型となるため線型空間 {{math|'''C'''{{sup|{{hat|''G''}}}}}} 上のエルミート内積を {{math|(''gδ''{{sub|''χ''}}){{sub|''χ'' ∈ {{hat|''G''}}}}}} が正規直交基底となるように :<math> \langle f | h \rangle = \frac{1}{g^2} \sum_\chi \bar f(\chi) h(\chi) </math> と定める。このエルミート内積は {{math|{{hat|''G''}}}} 上の質量 {{math|1/''g''}} の[[ハール測度]]に対応し、エルミート空間 {{math|''ℓ''{{sup|2}}(''G'')}} の定義で導入されたエルミート内積は {{mvar|G}} 上の質量 {{math|1}} のハール測度に対応していることに注意する。ここで {{math|''ℓ''{{sup|2}}({{hat|''G''}})}} は線型空間 {{math|'''C'''{{sup|{{hat|''G''}}}}}} に上のエルミート内積を備えたものとする。 フーリエ変換 :<math> \hat{} \colon \ell^2(G) \to \ell^2(\hat G) </math> はエルミート空間の同型である。特に :<math> \langle \hat a | \hat b \rangle_{\ell^2(\hat G)} = \langle a | b \rangle_{\ell^2(G)} </math> が成り立つ。 === 直交部分群 === 群 {{mvar|G}} の部分群 {{mvar|H}} に対し、{{mvar|H}} の{{訳語疑問点範囲|直交部分群|date=2021-07-11}} {{math|''H''{{sup|⊥}}}} とは {{mvar|H}} を[[核 (代数学)|核]]に含む指標からなる {{math|{{hat|''G''}}}} の部分群を表す。 [[同型定理]]から * {{math|''H''{{sup|⊥}}}} は[[商群]] {{math|''G''/''H''}} の双対と同型である。 * 商群 {{math|{{hat|''G''}}/''H''{{sup|⊥}}}} は {{math|{{hat|''H''}}}} と同型である。 上の主張は単数群 {{math|'''C'''*}} の[[可除群|可除性]]より得られる[[完全列]] :<math> 0 \to \widehat{G/H} \to \hat G \to \hat H \to 0 </math> からもわかる。 === ポアソンの和公式 === 群 {{mvar|G}} の位数 {{mvar|h}} の部分群 {{mvar|H}} をとる。エルミート空間 {{math|''ℓ''{{sup|2}}(''G'')}} に属する任意の元 {{mvar|a}} に対して[[ポアソン和公式|ポアソンの和公式]] :<math> g \sum_{s \in H} a(s) = h \sum_{\chi \in H^\perp} \hat a(\chi) </math> が成り立つ。 == 応用 == === 合同算術 === {{詳細記事|合同算術}} 歴史的には算術において初めて指標が使われた。[[ルジャンドル記号]]は指標の例のひとつであり、これは[[有限体]] {{math|'''F'''{{sub|''p''}} {{=}} '''Z'''/''p'''''Z'''}} の単数群上で定義されている。ここで {{math|'''Z'''}} は[[整数環]]であり、{{mvar|p}} は奇[[素数]]である。 これは[[ガウス和]]や[[ガウス周期]]の計算に使われた。ルジャンドル記号は[[平方剰余の相互法則]]を証明する基礎である。 === ルジャンドル記号 === {{詳細記事|ルジャンドル記号}} 以下 {{mvar|p}} は奇素数とする。ルジャンドル記号 <math>\left(\frac{a}{p}\right)</math> は整数 {{mvar|a}} に対して、{{mvar|a}} が {{mvar|p}} の倍数のとき {{math|0}} を対応させ、{{mvar|a}} が {{mvar|p}} の倍数でない数の平方と {{mvar|p}} を法として合同であるとき {{math|1}} を対応させ、そうでなければ {{math|−1}} を対応させる関数である。 ルジャンドル記号の単数群 {{math|'''F'''{{sub|''p''}}*}} 上での値は {{math|±1}} に値を取る指標と対応する。 実際、ルジャンドル記号は {{math|'''Z'''}} 上で定義されているが、{{mvar|p}} を法とした[[剰余類]]上では一定なので {{math|'''F'''{{sub|''p''}}}} の単数群上で矛盾なく定義できる。ルジャンドル記号は[[ディリクレ指標]]なので単数群上で {{math|±1}} に値を取る群準同型を定める。 <!-- ==== Somme de Gauss ==== {{Article détaillé|Somme de Gauss}} Dans le reste de l'article ''p'' est un nombre premier impair. Soit ψ un [[caractère d'un groupe fini|caractère]] du groupe additif ('''F'''<sub>''p''</sub>, +) et χ un caractère du groupe multiplicatif ('''F'''<sub>''p''</sub>*, .), alors la '''somme de Gauss associée à χ et ψ''' est le nombre complexe, ici noté ''G''(χ, ψ) et défini par : <center><math>G(\chi ,\psi)=\sum_{x \in F_p^*} \chi(x)\psi(x)</math>.</center> En termes de [[transformée de Fourier]], on peut considérer l'application qui à χ associe ''G''(χ, {{surligner|ψ}}) comme la transformée de Fourier du prolongement de χ à ''F''<sub>p</sub> par l'égalité χ(0) = 0 dans le groupe additif du corps et l'application qui à ψ associe ''G''({{surligner|χ}}, ψ) comme la transformé de Fourier de la restriction de ψ à '''F'''<sub>''p''</sub>* dans le groupe multiplicatif du corps. Les sommes de Gauss sont largement utilisées en arithmétique, par exemple pour le calcul des [[période de Gauss|périodes de Gauss]]. Elles permettent notamment de déterminer la somme des valeurs du groupe des [[résidu quadratique|résidus quadratiques]] des racines ''p''-ièmes de l'unité, et plus généralement de déterminer les racines du [[polynôme cyclotomique]] d'indice ''p''. ==== Loi de réciprocité quadratique ==== {{Article détaillé|Loi de réciprocité quadratique}} Les sommes de Gauss ont une application historique importante : la loi de réciprocité quadratique, qui s'exprime de la manière suivante : {{énoncé|Si ''p'' et ''q'' sont deux nombres premiers impairs distincts, alors <center><math> \left(\frac pq\right) \left(\frac qp\right) = (-1)^{\frac{(p-1)(q-1)}4}</math>.</center> }} ''Ce théorème est démontré dans l'article [[Somme de Gauss]].'' ==== Caractère de Dirichlet ==== {{Article détaillé|Caractère de Dirichlet}} Pour démonter le [[théorème de la progression arithmétique]], affirmant que toute classe inversible de l'[[Anneau ℤ/nℤ|anneau ℤ/''n''ℤ]] contient une infinité de nombres premiers, Dirichlet généralise les travaux de Gauss et étudie systématiquement le groupe des caractères du groupe des inversibles d'un tel anneau. L'utilisation de la transformée de Fourier est une étape clé de la démonstration. Les caractères de Dirichlet ont un rôle important dans la [[théorie analytique des nombres]] particulièrement pour analyser les [[Zéro d'une fonction|racines]] de la [[fonction zêta de Riemann|fonction ζ de Rieman]]. == Cas particulier : espace vectoriel fini == Un cas particulier est celui des [[espace vectoriel|espaces vectoriels]] sur un [[corps fini]]. Les propriétés des corps finis permettent d'établir les résultats de la théorie sous une forme légèrement différente. Ce cas est utilisé par exemple en [[théorie de l'information]] à travers l'étude des [[Fonction booléenne|fonctions booléennes]], correspondant au cas où le corps contient deux éléments. La théorie est utilisée pour résoudre des questions de [[cryptologie]] notamment pour les [[S-Box|boîtes-S]], ainsi que pour les [[chiffrement par flot|chiffrements par flot]]. L'analyse harmonique sur un [[espace vectoriel fini]] intervient aussi dans le contexte de la [[théorie des codes]] et particulièrement pour les [[code linéaire|codes linéaires]], par exemple pour établir l'[[identité de MacWilliams]]. === Dualité de Pontryagin === {{Article détaillé|Dualité de Pontryagin}} Pour tout [[groupe abélien]] [[groupe localement compact|localement compact]] ''G'', le morphisme injectif [[Canonique (mathématiques)|canonique]] de ''G'' dans son bidual est bijectif. Si ''G'' est un groupe abélien fini, il existe même des [[Caractère d'un groupe fini#Dual|isomorphismes (non canoniques) de ''G'' dans son dual]]. Dans le cas particulier où ''G'' est le groupe additif d'un espace vectoriel fini, c'est-à-dire un {{Lien|trad=Elementary abelian group|groupe abélien élémentaire}}, on peut construire comme suit certains de ces isomorphismes. ==== Isomorphisme fondamental ==== Sur n'importe quel espace vectoriel ''V'' de dimension finie, une [[forme bilinéaire]]〈 | 〉est [[Forme bilinéaire non dégénérée|non dégénérée]] si et seulement si {{Forme bilinéaire#Forme bilinéaire et application linéaire|l'application ''x'' ↦ 〈''x''| 〉est un isomorphisme}} de ''V'' dans son [[espace dual]] ''V''*. Dans cet article, ''V'' désigne un espace vectoriel de dimension finie ''n'' sur un corps fini '''F'''<sub>q</sub> de cardinal ''q''. Le symbole <math>\hat V</math> désigne le [[caractère d'un groupe fini|groupe dual]] de ''V'', χ<sub>0</sub> un [[caractère d'un groupe fini|caractère non trivial du groupe additif de '''F'''<sub>q</sub>]] et〈 | 〉une forme bilinéaire non dégénérée sur ''V''. En ne considérant de l'espace vectoriel ''V''* que son groupe additif, on a : {{énoncé|Le [[morphisme de groupes]] <math>V^*\to\hat V,f\mapsto\chi_0\circ f</math> est un [[isomorphisme de groupes|isomorphisme]]. }} En effet, ce morphisme est [[injection (mathématiques)|injectif]] car de [[Noyau (algèbre)|noyau]] [[Groupe trivial|trivial]], puisque si ''f'' est une [[forme linéaire]] non nulle donc [[surjection|surjective]], alors le caractère χ<sub>0</sub>∘''f'' est, comme χ<sub>0</sub>, non trivial. Les deux groupes ayant même [[Ordre (théorie des groupes)|ordre]] ''q{{exp|n}}'', ce morphisme injectif est [[bijectif]]. Par [[Composition des applications|composition]], on en déduit : {{énoncé|Le morphisme de groupes <math>U:V\to\hat V</math> défini par <center><math>\forall x,y \in V \quad U_x(y) = \chi_0 (\langle x\mid y\rangle)</math></center> est un isomorphisme. }} ==== Orthogonalité relativement à la dualité de Pontryagin ==== Soit ''S'' un sous-ensemble de ''V''. [[#Orthogonal d'un sous-groupe|Comme dans le cas général d'un groupe abélien fini]], l'orthogonal de ''S'' est le sous-groupe ''S''{{exp|⊥}} de <math>\hat V</math> constitué des caractères dont le noyau contient ''S''. On définit de plus {{refnec|date=septembre 2016|l'orthogonal de ''S'' relativement à}} la {{Quoi|date=septembre 2016|dualité de Pontryagin associée à (χ<sub>0</sub>, < {{!}} >)}} comme le [[sous-groupe]] ''S''° := ''U''{{-1}}(''S''{{exp|⊥}}) de ''V'' : <center><math>S^{\circ}=\{x\in V\mid\forall y\in S\quad \chi_0(\langle x\mid y\rangle)=1\}</math>.</center> On remarque que : *l'[[Orthogonalité#Définitions formelles|orthogonal à gauche de ''S'' relativement à la forme bilinéaire]] est un [[sous-espace vectoriel]] de ''V'' inclus dans le sous-groupe ''S''°. Il lui est égal dès que χ<sub>0</sub> est injectif — c'est-à-dire dès que ''q'' est premier — mais aussi dès que ''S'' est un sous-espace vectoriel ; *si la forme bilinéaire〈 | 〉est symétrique ou antisymétrique, ''S''°° est le [[sous-groupe engendré]] par ''S'' ; en effet, ce sous-groupe ''H'' est inclus dans ''H''°°, or l'ordre |''H''°| = |''H''{{exp|⊥}}| de ''H''° est égal à |''V''|/|''H''| et de même, |''H''°°| est égal à |''V''|/|''H''°| donc à |''H''|, si bien que ''H'' = ''H''°° = ''S''°°. === Transformée de Fourier === L'[[algèbre d'un groupe fini]] est notée [[nombre complexe|ℂ]][''G'']. La [[#Transformée de Fourier|transformation de Fourier]], de ℂ[''G''] dans ℂ[''Ĝ''], est la bijection linéaire définie par : <math>\widehat a(\chi):=\sum_{y\in G}\overline{\chi(y)}a(y)</math>. La [[#Transformée de Fourier|formule de Plancherel]] est <math>a=\frac1g\sum_{\chi\in\widehat G}\widehat a(\chi)\chi</math> et si ( , ){{ind|''G''}} désigne le produit hermitien canonique de l'espace vectoriel complexe ℂ[''G''], l'[[#Égalité de Parseval|égalité de Parseval]] s'écrit : <math>(\hat a|\hat b)_{\widehat G}=|G|~(a|b)_G</math>. Dans le cas ''G'' = ''V'', l'[[#Isomorphisme fondamental|isomorphisme ''U'' ci-dessus]], de ''V'' dans son groupe dual, permet de transporter cette transformation de Fourier en une application de ℂ[''V''] dans ℂ[''V''], {{Refnec|date=septembre 2016|encore appelée transformation de Fourier et encore notée ^}} : <center><math>\forall a\in\Complex[V]\quad\forall x\in V\quad\hat a(x):=\hat a(U(x))=\sum_{y\in V}a(y)\chi_0(-\langle x\mid y\rangle)</math>.</center> L'égalité de Parseval se réécrit alors : <center><math>\forall a,b\in\Complex[V]\quad(\hat a\mid\hat b)=q^n(a\mid b)</math></center> et la formule de Plancherel : <center><math>\forall a\in\Complex[V] \quad \forall y\in V\quad a(y)=\frac1{q^n}\sum_{x\in V}\widehat a(x)\chi_0(\langle x\mid y\rangle)</math>.</center> === Formule sommatoire de Poisson === {{Article détaillé|Analyse harmonique sur un groupe abélien fini#Formule sommatoire de Poisson{{!}}Formule sommatoire de Poisson pour un groupe abélien fini}} Si ''W'' est un sous-groupe de ''V'' et <math>a</math> un élément de ℂ[''V''], alors la formule sommatoire de Poisson prend la forme suivante : <center><math>\sum_{w\in W}a(w)=\frac1{|W^{\circ}|}\sum_{w^{\circ}\in W^{\circ}} \hat a (w^{\circ})</math>.</center> === Applications === ==== Fonction booléenne ==== {{Article détaillé|fonction booléenne}} Il existe un cas particulier, celui où l'espace vectoriel est binaire, c'est-à-dire sur le corps à deux éléments '''F'''<sub>2</sub>. Dans ce contexte, il n'existe qu'un caractère non trivial, celui qui à l'unité associe –1. La transformée de Fourier prend alors une forme simple et porte le nom de [[transformée de Walsh]]. Il possède de nombreuses applications en [[théorie des codes]]. Il sert par exemple en [[cryptographie]] pour assurer la sécurité d'un message à l'aide d'une [[boîte-S]] dans le cas des [[Algorithmique|algorithmes]] à [[Cryptographie symétrique|chiffrement symétrique]]. ==== Identité de MacWilliams ==== {{Article détaillé|Identité de MacWilliams}} L'analyse harmonique sur les espaces vectoriels finis est aussi utilisée pour les [[code correcteur|codes correcteurs]], particulièrement dans le contexte des [[code linéaire|codes linéaires]]. L'identité de MacWilliams est un exemple ; elle relie le polynôme énumérateur des poids, c'est-à-dire la distribution des [[poids de Hamming]], d'un code linéaire et celui de son dual. Il sert pour l'étude de codes comme celui de [[code de Hamming|Hamming]]. == Voir aussi == {{Crédit d'auteurs|interne|Analyse harmonique sur un espace vectoriel fini|129847376}} === Articles connexes === *[[Transformée de Fourier discrète]] *[[Analyse harmonique non commutative]] === Lien externe === * C. Bachoc, [http://www.math.u-bordeaux1.fr/~bachoc/Enseignements/MDTF/mathdis.pdf Mathématiques discrètes de la transformée de Fourier], [[Université Bordeaux I]] *{{Lien web|url=http://abdellah.bechata.free.fr/telechargement/harmonique/finis_commutatifs/pdf/fourier_groupe_fini.pdf|titre=Analyse harmonique sur les groupes finis commutatifs|auteur=A. Bechata|page=10-11}} *{{Lien web|titre=Harmonic Analysis on Vector Spaces over Finite Fields|url=www.maths.ed.ac.uk/~carbery/analysis/notes/fflpublic.pdf|auteur=Anthony Carbery|page=4-5}}. === Ouvrages === * {{Demazure1}} * [[André Warusfel]], ''Structures algébriques finies'', Hachette, 1971 * Gabriel Peyré, ''L'algèbre discrète de la transformée de Fourier'', [[Éditions Ellipses|Ellipses]], 2004 {{Palette|Représentations des groupes finis}} {{Portail|mathématiques}} [[Catégorie:Analyse harmonique discrète]] [[Catégorie:Caractère de Dirichlet]] --> == この内容を扱っている文献例 == * Audrey Terras (1999): ''Fourier Analysis on Finite Groups and Applications'', London Mathematical Society, Cambridge Univ. Press, ISBN 978-0-521-45718-7. * David K. Maslen and Daniel N. Rockmore: ''The Cooley-Tukey FFT and Group Theory'', Notices of the AMS, (Nov, 2001), Vol.48, No.10, pp.1151-1161. * David K. Maslen and Daniel N. Rockmore: ''The Cooley-Tukey FFT and Group Theory'', Modern Signal Processing, MSRI Publications, Vol.46,(2003), pp.281-300. * Rockmore, D.N. (2004). ''Recent Progress and Applications in Group FFTs''. In: Byrnes, J. (eds) Computational Noncommutative Algebra and Applications. NATO Science Series II: Mathematics, Physics and Chemistry, Vol.136, Springer, ISBN 978-1-4020-1982-1. {{デフォルトソート:ゆうけんかかんくんしようのちようわかいせき}} [[Category:群論]] [[Category:調和解析]] [[Category:数学に関する記事]]
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