有限可換群上の調和解析

数学において有限可換群上の調和解析（ゆうげんかかんぐんじょうのちょうわかいせき、テンプレート:Lang-fr-short）とは有限可換群の上で行う調和解析のこと。

調和解析において定義されるフーリエ変換や畳み込みの概念はプランシュレルの定理・パーセバルの等式・ポントリャーギン双対など多くの定理の枠組みである。群が有限で可換となる場合は理論が極めて単純となる。フーリエ変換は有限和となり、双対群はもとの群と同型になる。有限可換群上の調和解析は特に合同算術や情報理論において多くの応用がある。

背景

この記事では テンプレート:Mvar は位数 テンプレート:Mvar の可換群、テンプレート:Math は複素数体、複素数 テンプレート:Mvar に対して テンプレート:Mvar は複素共役とする。

関数空間

群 テンプレート:Mvar 上の複素関数からなる集合 テンプレート:Math 上において以下の構造を考える。

• 各点ごとの和とスカラー倍により集合 テンプレート:Math は テンプレート:Mvar 次元複素線型空間となり、標準基底は テンプレート:Math （ただし テンプレート:Mvar はデルタ関数を表す）で与えられる。関数 テンプレート:Mvar の標準基底に関する座標は テンプレート:Math であり、これを テンプレート:Mvar とも書く。

• 線型空間 テンプレート:Math には自然なエルミート内積が

$⟨f|h⟩=\frac{1}{g}\sum _s\overline{f}(s)h(s)$

により定義される。このエルミート内積は線型空間 テンプレート:Math にエルミート空間の構造を与え、これを テンプレート:Math と書く。

• 線型空間 テンプレート:Math には畳み込みと呼ばれる積が

$\left(\sum _s{a}_s{\delta }_s\right)*\left(\sum _t{b}_t{\delta }_t\right)=\sum _{s,t}{a}_s{b}_t{\delta }_{s+t}$

により定義される。この積は群の積を テンプレート:Math のように延長した演算になっている。畳み込みは線型空間 テンプレート:Math に テンプレート:Math 多元環の構造を与える。これを有限群 テンプレート:Mvar の群多元環と呼び、テンプレート:Math と書く。

双対群

群 テンプレート:Mvar から単数群 テンプレート:Math への準同型写像を テンプレート:Mvar の指標と呼び、テンプレート:Mvar の指標が各点ごとの積によりなす群 テンプレート:Math を双対群と呼ぶ。 乗法群 テンプレート:Math は加法群 テンプレート:Mvar と（自然ではないが）同型となる。双対群 テンプレート:Math は線型空間 テンプレート:Math に含まれ、エルミート空間 テンプレート:Math の正規直交基底をなす。この事実は線型空間 テンプレート:Math 上のエルミート内積の選び方を正当化する。任意の有限可換群は二重双対（双対の双対）と自然同型であり、この性質を一般にポントリャーギン双対性という。

調和解析の理論

パーセバルの等式

エルミート空間 テンプレート:Math に属する元 テンプレート:Mvar を正規直交基底 テンプレート:Math に関して

$a=\sum _{\chi }{a}_{\chi }\chi (a_{\chi }=⟨\chi |a⟩=\frac{1}{g}\sum _s\overline{\chi }(s)a(s))$

と展開したときパーセバルの等式

$\Vert a{\Vert }^2=\sum _{\chi }|a_{\chi }{|}^2$

が成り立つ。

フーリエ変換

エルミート空間 テンプレート:Math に属する元 テンプレート:Mvar のフーリエ変換は

$\hat{a}(\chi )=g{a}_{\chi }=\sum _s\overline{\chi }(s)a(s)$

により定義される関数 テンプレート:Math である。フーリエ変換 テンプレート:Math は全単射であることが空間の次元比較とプランシュレルの定理からわかる。

畳み込み

フーリエ変換の定義で テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar 倍を選んだことにより畳み込みとの整合性が得られる。

群多元環 テンプレート:Math に属する元 テンプレート:Mvar, テンプレート:Mvar に対して畳み込み テンプレート:Math のフーリエ変換はフーリエ変換 テンプレート:Math, テンプレート:Math の積と一致する。つまり

$\widehat{a*b}=\hat{a}\hat{b}$

が成り立つ。

パーセバルの定理

全単射 テンプレート:Math がエルミート空間の同型となるため線型空間 テンプレート:Math 上のエルミート内積を テンプレート:Math が正規直交基底となるように

$⟨f|h⟩=\frac{1}{g^2}\sum _{\chi }\overline{f}(\chi )h(\chi )$

と定める。このエルミート内積は テンプレート:Math 上の質量 テンプレート:Math のハール測度に対応し、エルミート空間 テンプレート:Math の定義で導入されたエルミート内積は テンプレート:Mvar 上の質量 テンプレート:Math のハール測度に対応していることに注意する。ここで テンプレート:Math は線型空間 テンプレート:Math に上のエルミート内積を備えたものとする。

フーリエ変換

$\stackrel{}{^}:{\ell }^2(G)\to {\ell }^2(\hat{G})$

はエルミート空間の同型である。特に

$⟨\hat{a}|\hat{b}{⟩}_{{\ell }^2(\hat{G})}=⟨a|b{⟩}_{{\ell }^2(G)}$

が成り立つ。

直交部分群

群 テンプレート:Mvar の部分群 テンプレート:Mvar に対し、テンプレート:Mvar のテンプレート:訳語疑問点範囲 テンプレート:Math とは テンプレート:Mvar を核に含む指標からなる テンプレート:Math の部分群を表す。

同型定理から

• テンプレート:Math は商群 テンプレート:Math の双対と同型である。
• 商群 テンプレート:Math は テンプレート:Math と同型である。

上の主張は単数群 テンプレート:Math の可除性より得られる完全列

$0\to \widehat{G/H}\to \hat{G}\to \hat{H}\to 0$

からもわかる。

ポアソンの和公式

群 テンプレート:Mvar の位数 テンプレート:Mvar の部分群 テンプレート:Mvar をとる。エルミート空間 テンプレート:Math に属する任意の元 テンプレート:Mvar に対してポアソンの和公式

$g\sum _{s\in H}a(s)=h\sum _{\chi \in H^{\perp }}\hat{a}(\chi )$

が成り立つ。

応用

合同算術

テンプレート:詳細記事 歴史的には算術において初めて指標が使われた。ルジャンドル記号は指標の例のひとつであり、これは有限体 テンプレート:Math の単数群上で定義されている。ここで テンプレート:Math は整数環であり、テンプレート:Mvar は奇素数である。

これはガウス和やガウス周期の計算に使われた。ルジャンドル記号は平方剰余の相互法則を証明する基礎である。

ルジャンドル記号

テンプレート:詳細記事 以下 テンプレート:Mvar は奇素数とする。ルジャンドル記号 $\left(\frac{a}{p}\right)$ は整数 テンプレート:Mvar に対して、テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar の倍数のとき テンプレート:Math を対応させ、テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar の倍数でない数の平方と テンプレート:Mvar を法として合同であるとき テンプレート:Math を対応させ、そうでなければ テンプレート:Math を対応させる関数である。

ルジャンドル記号の単数群 テンプレート:Math 上での値は テンプレート:Math に値を取る指標と対応する。

実際、ルジャンドル記号は テンプレート:Math 上で定義されているが、テンプレート:Mvar を法とした剰余類上では一定なので テンプレート:Math の単数群上で矛盾なく定義できる。ルジャンドル記号はディリクレ指標なので単数群上で テンプレート:Math に値を取る群準同型を定める。

この内容を扱っている文献例

• Audrey Terras (1999): Fourier Analysis on Finite Groups and Applications, London Mathematical Society, Cambridge Univ. Press, ISBN 978-0-521-45718-7.
• David K. Maslen and Daniel N. Rockmore: The Cooley-Tukey FFT and Group Theory, Notices of the AMS, (Nov, 2001), Vol.48, No.10, pp.1151-1161.
• David K. Maslen and Daniel N. Rockmore: The Cooley-Tukey FFT and Group Theory, Modern Signal Processing, MSRI Publications, Vol.46,(2003), pp.281-300.
• Rockmore, D.N. (2004). Recent Progress and Applications in Group FFTs. In: Byrnes, J. (eds) Computational Noncommutative Algebra and Applications. NATO Science Series II: Mathematics, Physics and Chemistry, Vol.136, Springer, ISBN 978-1-4020-1982-1.