有限次元分布のソースを表示

{{Unreferenced|date=January 2014}}

[[数学]]における'''有限次元分布'''（ゆうげんじげんぶんぷ、{{Lang-en-short|finite-dimensional distributions}}）とは、[[測度論]]および[[確率過程]]の分野に登場するある道具のことを言う。ある測度（あるいは過程）のある有限次元[[ベクトル空間]]（あるいは有限時間の全体）への上への「射影」を調べることで、多くの情報が得られる。

== 測度の有限次元分布 ==

<math>(X, \mathcal{F}, \mu)</math> をある[[測度空間]]とする。<math>\mu</math> の'''有限次元分布'''とは、任意の可測函数 <math>f : X \to \mathbb{R}^{k}</math>, <math>k \in \mathbb{N}</math> に対する{{仮リンク|押し出し測度|en|pushforward measure}} <math>f_{*} (\mu)</math> のことを言う。

== 確率過程の有限次元分布 ==

<math>(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})</math> をある[[確率空間]]とし、<math>X : I \times \Omega \to \mathbb{X}</math> をある[[確率過程]]とする。<math>X</math> の'''有限次元分布'''とは、<math>k \in \mathbb{N}</math> に対する[[直積位相|直積空間]] <math>\mathbb{X}^{k}</math> 上の押し出し測度

:<math>\mathbb{P}_{i_{1} \dots i_{k}}^{X} (S) := \mathbb{P} \left\{ \omega \in \Omega \left| \left( X_{i_{1}} (\omega), \dots, X_{i_{k}} (\omega) \right) \in S \right. \right\} </math>

のことを言う。

この条件は頻繁に、[[可測]]な[[長方形]]領域を用いて次のように表現される。

:<math>\mathbb{P}_{i_{1} \dots i_{k}}^{X} (A_{1} \times \cdots \times A_{k}) := \mathbb{P} \left\{ \omega \in \Omega \left| X_{i_{j}} (\omega) \in A_{j} \mathrm{\,for\,} 1 \leq j \leq k \right. \right\}.</math>

ある過程 <math>X</math> の有限次元分布の定義は、次のようにして測度 <math>\mu</math> の定義と関連付けられる：<math>X</math> の{{仮リンク|法則 (確率過程)|label=法則|en|Law (stochastic processes)}} <math>\mathcal{L}_{X}</math> とは、<math>I</math> から <math>\mathbb{X}</math> への函数の全体 <math>\mathbb{X}^{I}</math> 上のある測度であったことを思い出されたい。一般に、これは無限次元空間となる。<math>X</math> の有限次元分布は、有限次元直積空間 <math>\mathbb{X}^{k}</math> 上の押し出し測度 <math>f_{*} \left( \mathcal{L}_{X} \right)</math> である。ここで

:<math>f : \mathbb{X}^{I} \to \mathbb{X}^{k} : \sigma \mapsto \left( \sigma (t_{1}), \dots, \sigma (t_{k}) \right)</math>

は自然な「時間 <math>t_{1}, \dots, t_{k}</math> での評価」の函数である。

== 緊密性との関連 ==

[[確率測度]]の列 <math>(\mu_{n})_{n = 1}^{\infty}</math> が[[測度の緊密性|緊密]]で、<math>\mu_{n}</math> のすべての有限次元分布が対応するある確率測度 <math>\mu</math> の有限次元分布に{{仮リンク|測度の収束|label=弱収束|en|convergence of measures}}するなら、<math>\mu_{n}</math> は <math>\mu</math> に弱収束する。

== 関連項目 ==
* {{仮リンク|法則 (確率過程)|en|Law (stochastic processes)}}

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[[Category:測度論]]
[[Category:確率過程]]
[[Category:数学に関する記事]]