根二乗平均速度のソースを表示

{{出典の明記|date=2012年8月9日 (木) 10:58 (UTC)}}
'''根二乗平均速度'''（こんにじょうへいきんそくど、{{Lang-en-short|root-mean-square speed}}）とは、[[速度]]の[[絶対値]]の[[二乗平均平方根]]、すなわち速度の大きさの[[自乗|二乗]] ''v'' <sup>2</sup> の[[統計集団]]平均 <math>\langle v^2 \rangle</math> の[[平方根]] <math>\sqrt{\langle v^2 \rangle}</math> である。
ここで速度 '''''v''''' の大きさ ''v'' は '''''v''''' の[[内積]]によって定められる。
:<math>v = |\boldsymbol{v}| := \sqrt{\boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{v}}\,.</math>

根二乗平均速度は[[気体分子運動論]]などの議論において現れる。

速度の[[分散 (確率論)|分散]] <math>|\sigma(\boldsymbol{v})|^2</math> は速度の[[平均]] <math>\langle\boldsymbol{v}\rangle</math> と速度の二乗平均 <math>\langle v^2 \rangle</math> を用いて以下のように書き表すことができる。
:<math>|\sigma(\boldsymbol{v})|^2
=\langle v^2 \rangle - \langle\boldsymbol{v}\rangle \cdot \langle\boldsymbol{v}\rangle\,.</math>

もしも速度の平均 <math>\langle \boldsymbol{v} \rangle</math> が '''0''' ならば、二乗平均 <math>\langle v^2 \rangle</math> は分散と一致する。
このとき根二乗平均速度 <math>\sqrt{\langle v^2 \rangle}</math> は速度の[[標準偏差#確率変数の標準偏差|ゆらぎ]]の大きさ <math>|\sigma(\boldsymbol{v})|</math> に等しい。
:<math>\sqrt{\langle v^2 \rangle} = |\sigma(\boldsymbol{v})| \quad (\langle \boldsymbol{v} \rangle = \boldsymbol{0}).</math>
従って根二乗平均速度から、[[巨視的]]な[[流れ]]がないような系において、熱的なゆらぎに起因する速度の大きさを評価することができる。

== 例 ==
=== 気体分子運動論 ===
[[気体分子運動論]]における、[[単原子分子]]の二乗平均速度は次のように表される。
: <math>\sqrt{\langle v^2 \rangle} = \sqrt\frac{3RT}{M}\,.</math>
ここで、''R'' &asymp; 8.314 [[ジュール|J]]/([[ケルビン|K]] &middot; [[モル|mol]]) は[[気体定数]]、''T'' は[[熱力学温度]]、''M'' は[[分子量]]である。
[[ボルツマン定数]] ''k'' <sub>B</sub> &asymp; 1.381 &times; 10<sup>-23</sup> J/K と[[アヴォガドロ定数]] ''N'' <sub>A</sub> &asymp; 6.022 &times; 10<sup>23</sup> /mol, および分子[[質量]] ''m'' を用いると、ボルツマン定数と分子量の定義より、
:<math>R = k_\mathrm{B}N_\mathrm{A},\quad M = mN_\mathrm{A}</math>
という関係が成り立つので、以下のように書き直される。
: <math>\sqrt{\langle v^2 \rangle} = \sqrt\frac{3k_\mathrm{B}T}{m}\,.</math>
この関係から直ちに、1 単原子分子が持つ平均の[[運動エネルギー]]は温度に比例することが分かる。
: <math>\langle \frac{1}{2}mv^2 \rangle = \frac{3}{2}k_\mathrm{B}T\,.</math>

==== 導出 ====
単原子分子の[[理想気体]]の[[内部エネルギー]] ''U'' (''T'' ) は以下の関係を満たす。
: <math>U(T)={3 \over 2} nRT\,.~~ \cdots ~~ (1)</math>
ここで ''n'' は系のモル数である。これをボルツマン定数 ''k'' <sub>B</sub> と気体分子の個数 ''N'' を用いて書き直せば、''n'' = ''N''/''N'' <sub>A</sub> なので、
: <math>U(T)={3 \over 2} Nk_\mathrm{B}T ~~ \cdots ~~ (2)</math>
となる。理想気体の持つエネルギーは気体分子の持つエネルギーの総和に等しく、気体分子の持つエネルギーは運動エネルギーのみなので、次の関係を満たす。
: <math>U(T)=N\langle\frac{1}{2}mv^2\rangle\,.~~ \cdots ~~ (3)</math>
(2), (3) の右辺同士を比較すれば、
: <math>N\langle\frac{1}{2}mv^2\rangle = {3 \over 2} Nk_\mathrm{B}T</math>
より、根二乗平均速度と温度の関係式が得られる。
: <math>\sqrt{\langle v^2\rangle} = \sqrt\frac{3k_\mathrm{B}T}{m}\,.~~\cdots~~(4)</math>

== 脚注 ==
=== 注釈 ===
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=== 出典 ===
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<!-- == 参考文献 == -->
== 関連項目 ==
*[[統計力学]]
*[[気体分子運動論]]
*[[理想気体]]
*[[理想気体の状態方程式]]
*[[マクスウェル分布]]
*[[ボルツマン分布]]
*[[二乗平均平方根]]

<!-- {{Commonscat|Root-mean-square speed}} -->
<!-- == 外部リンク == -->

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{{デフォルトソート:こんにしようへいきんそくと}}
[[Category:統計力学]]
[[Category:速度]]