根二乗平均速度

テンプレート:出典の明記 根二乗平均速度（こんにじょうへいきんそくど、テンプレート:Lang-en-short）とは、速度の絶対値の二乗平均平方根、すなわち速度の大きさの二乗 v ² の統計集団平均 $⟨ v^{2} ⟩$ の平方根 $\sqrt{⟨ v^{2} ⟩}$ である。ここで速度 v の大きさ v は v の内積によって定められる。

v = | 𝒗 | : = \sqrt{𝒗 \cdot 𝒗} .

根二乗平均速度は気体分子運動論などの議論において現れる。

速度の分散 $| σ (𝒗) |^{2}$ は速度の平均 $⟨ 𝒗 ⟩$ と速度の二乗平均 $⟨ v^{2} ⟩$ を用いて以下のように書き表すことができる。

| σ (𝒗) |^{2} = ⟨ v^{2} ⟩ - ⟨ 𝒗 ⟩ \cdot ⟨ 𝒗 ⟩ .

もしも速度の平均 $⟨ 𝒗 ⟩$ が 0 ならば、二乗平均 $⟨ v^{2} ⟩$ は分散と一致する。このとき根二乗平均速度 $\sqrt{⟨ v^{2} ⟩}$ は速度のゆらぎの大きさ $| σ (𝒗) |$ に等しい。

\sqrt{⟨ v^{2} ⟩} = | σ (𝒗) | (⟨ 𝒗 ⟩ = 0) .

従って根二乗平均速度から、巨視的な流れがないような系において、熱的なゆらぎに起因する速度の大きさを評価することができる。

例

気体分子運動論における、単原子分子の二乗平均速度は次のように表される。

\sqrt{⟨ v^{2} ⟩} = \sqrt{\frac{3 R T}{M}} .

ここで、R ≈ 8.314 J/(K · mol) は気体定数、T は熱力学温度、M は分子量である。ボルツマン定数 k _B ≈ 1.381 × 10^-23 J/K とアヴォガドロ定数 N _A ≈ 6.022 × 10²³ /mol, および分子質量 m を用いると、ボルツマン定数と分子量の定義より、

R = k_{B} N_{A}, M = m N_{A}

という関係が成り立つので、以下のように書き直される。

\sqrt{⟨ v^{2} ⟩} = \sqrt{\frac{3 k_{B} T}{m}} .

この関係から直ちに、1 単原子分子が持つ平均の運動エネルギーは温度に比例することが分かる。

⟨ \frac{1}{2} m v^{2} ⟩ = \frac{3}{2} k_{B} T .

単原子分子の理想気体の内部エネルギー U (T ) は以下の関係を満たす。

U (T) = \frac{3}{2} n R T . \dots (1)

ここで n は系のモル数である。これをボルツマン定数 k _B と気体分子の個数 N を用いて書き直せば、n = N/N _A なので、

U (T) = \frac{3}{2} N k_{B} T \dots (2)

となる。理想気体の持つエネルギーは気体分子の持つエネルギーの総和に等しく、気体分子の持つエネルギーは運動エネルギーのみなので、次の関係を満たす。

U (T) = N ⟨ \frac{1}{2} m v^{2} ⟩ . \dots (3)

(2), (3) の右辺同士を比較すれば、

N ⟨ \frac{1}{2} m v^{2} ⟩ = \frac{3}{2} N k_{B} T

より、根二乗平均速度と温度の関係式が得られる。

\sqrt{⟨ v^{2} ⟩} = \sqrt{\frac{3 k_{B} T}{m}} . \dots (4)