マクスウェル分布

テンプレート:確率分布 マクスウェル分布（マクスウェルぶんぷ、テンプレート:Lang-en-shortテンプレート:R）とは、熱力学的平衡状態において、気体分子の速度が従う分布関数である。マクスウェル＝ボルツマン分布（テンプレート:Lang-en-shortテンプレート:R）と呼ばれることもある。気体分子運動論により導かれたが、より一般化されたボルツマン分布からも導かれる。イギリスの物理学者J.C.マクスウェルが1859年に見いだしたことにちなんで名付けられた。

導出

気体分子運動論では、成分を テンプレート:Mvar とする速度ベクトル テンプレート:Mvar について、テンプレート:Mvar 方向の速度成分 テンプレート:Mvar の分布は、分子の質量を テンプレート:Mvar、ボルツマン定数を テンプレート:Mvar、絶対温度を テンプレート:Mvar、係数を テンプレート:Math として

$A\exp (-\frac{m{v}_x^2}{2kT})$

に従うことが知られており、この式は左右対称なつりがね状の正規分布になる。したがって、係数 テンプレート:Math を求めるには テンプレート:Mvar に関して積分した値が1になれば良いのでテンプレート:R

$A\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\exp (-\frac{m{v}_x^2}{2kT})\mathrm{d}v=2A\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\exp (-\frac{m{v}_x^2}{2kT})\mathrm{d}v=1$

より、テンプレート:Math となる。したがって、テンプレート:Mvar 方向の速度成分 テンプレート:Mvar の分布は

$f(v_x)=\sqrt{\frac{m}{2\pi kT}}\exp (-\frac{m{v}_x^2}{2kT})$

となるテンプレート:R。

また、テンプレート:Mvar 方向の各速度の分布は互いに独立で、

$f(v_x,v_y,v_z)=f(v_x)f(v_y)f(v_z)$

が成り立つので、方向を指定しない3次元の速さ テンプレート:Mvar の分布は

$f(v)\mathrm{d}{v}_x\mathrm{d}{v}_y\mathrm{d}{v}_z={\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)}^{3/2}\exp (-\frac{m(v_x^2+v_y^2+v_z^2)}{2kT})\mathrm{d}{v}_x\mathrm{d}{v}_y\mathrm{d}{v}_z$

となるテンプレート:R。ここで、テンプレート:Math は半径 テンプレート:Mvar で厚さ テンプレート:Math の球殻の体積に相当するので、テンプレート:Math となりテンプレート:R、またスカラー量である速さ テンプレート:Mvar の大きさは テンプレート:Math なので、マクスウェル分布は

$f(v)\mathrm{d}v=4\pi v^2{\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)}^{3/2}\exp (-\frac{m{v}^2}{2kT})\mathrm{d}v$

より

$f(v)=4\pi v^2{\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)}^{3/2}\exp (-\frac{m{v}^2}{2kT})$

となるテンプレート:R。

マクスウェル分布はテンプレート:仮リンクの一つである。

$f_{\text{Maxwell}}(v;a)=f_{\text{GeneralizedGamma}}(v;\sqrt{2}a,3,2)$

速度分布

25℃における希ガス中での分子の速さの分布をプロットした図

分子の質量が大きく温度が低いほど分布は密になり、分子の質量が小さく温度が高いほど分布は疎になる。 テンプレート:Clear

導かれる速度

マクスウェル分布からは3種類の速度が導出される。

まず1つ目の速度が英語で"テンプレート:En"と呼ばれる速度で、日本語では「最大確率速度テンプレート:R」や「最確速度テンプレート:R」などと呼ばれるものであり、記号で テンプレート:Math と表される。これは、マクスウェル分布の最頻値であり、グラフのピークを求めれば良いのでテンプレート:R

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}f(v)=0$

よりテンプレート:R

$v_{\mathrm{m}\mathrm{p}}=\sqrt{\frac{2kT}{m}}$

となるテンプレート:R。

次に求められる速度が平均速度 テンプレート:Mvar である。これはマクスウェル分布の期待値なので

$\bar{v}=⟨v⟩=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}vf(v)\mathrm{d}v=\sqrt{\frac{8kT}{\pi m}}=\frac{2}{\sqrt{\pi }}{v}_{\mathrm{m}\mathrm{p}}$

となるテンプレート:R。

最後に求められる速度が根二乗平均速度 テンプレート:Math である。これはマクスウェル分布のモーメントなので

$v_{\mathrm{r}\mathrm{m}\mathrm{s}}=\sqrt{⟨v^2⟩}=\sqrt{\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{v}^{2}f(v)\mathrm{d}v}=\sqrt{\frac{3kT}{m}}=\sqrt{\frac{3}{2}}{v}_{\mathrm{m}\mathrm{p}}$

となるテンプレート:R。

また、これら3つの速度の比は

$v_{\mathrm{m}\mathrm{p}}:\bar{v}:v_{\mathrm{r}\mathrm{m}\mathrm{s}}=1:\frac{2}{\sqrt{\pi }}:\sqrt{\frac{3}{2}}=1:1.128:1.225$

と表されるテンプレート:R。

脚注

出典

参考文献

• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book

関連項目

• 平均自由行程
• 真空
• 最大エントロピー原理

外部リンク

• テンプレート:Kotobank
• テンプレート:Kotobank
• テンプレート:Kotobank
• テンプレート:Kotobank