運動エネルギー

質点の運動エネルギー

ニュートン力学において、物体の運動エネルギーは、物体の質量と速さの二乗に比例する。つまり、速度 v で運動する質量 m の物体の運動エネルギー K はテンプレート:Indent で与えられる^{[注 1]}。

ニュートンの運動方程式がテンプレート:Indent と表されているとき、この力 F が時刻 t₀ から t₁ の間に為す仕事 $W_{t_{0} \to t_{1}}$ は、テンプレート:Indent となる。従って、物体の運動エネルギーの変化量は、その物体に加えられた仕事に等しい。

特に物体に一定の力 F が加えられ、物体の位置が $𝒙$ から $𝒙 + Δ 𝒙$ まで、 $Δ 𝒙$ だけ変化したとき、

\frac{1}{2} m v^{2} (t_{1}) - \frac{1}{2} m v^{2} (t_{0}) = 𝑭 \cdot Δ 𝒙

という等式が成り立つ。例えば物体が地表付近で自由落下する場合、重力加速度は一定と見なせるので、上記の等式が利用できる。また、力F を物体の質量m と加速度 α の積で置き換えれば、等式は物体の質量に依存しない形に書き直される。

v^{2} (t_{1}) - v^{2} (t_{0}) = 2 α \cdot Δ 𝒙 .

同様に回転運動をする物体の運動エネルギーは、角速度 ω の2乗と慣性モーメント I に比例する。

K = \frac{1}{2} I ω^{2}

ラグランジュ力学の出発点となるラグランジアン L は運動エネルギー K とポテンシャルエネルギー V の差として定義することができる。

L (q, \dot{q}; t) = K (\dot{q}) - V (q)

この際、ラグランジアンの変数は一般化座標 $q (t)$ とその時間微分 $\dot{q} (t)$ 、及び時刻 $t$ である。多くの場合、一般化座標として位置 $x$ や回転角 $θ$ とするので、運動エネルギーは

K = \sum_{i} \frac{1}{2} m_{i} {v_{i}}^{2} + \sum_{j} \frac{1}{2} I_{i} {ω_{j}}^{2}

となる。

H (q, p; t) = \sum p \dot{q} - L

として定義される。ハミルトニアンの変数は一般化座標 $q (t)$ と一般化運動量 $p (t)$ である。元のラグランジアンでポテンシャルが $\dot{q} (t)$ に依存せず、運動エネルギーが上の形をしていれば、

p_{i} (t) = \frac{\partial L}{\partial v_{i}} = m_{i} v_{i}

l_{j} (t) = \frac{\partial L}{\partial ω_{j}} = I_{j} ω_{j}

（ l は回転角度 θ に共役な角運動量）となり、運動エネルギーは

K = \sum_{i} \frac{1}{2 m_{i}} {p_{i}}^{2} + \sum_{j} \frac{1}{2 I_{j}} {l_{j}}^{2}

となる。