楕円型偏微分方程式のソースを表示

{{出典の明記|date=2023年4月}}
[[数学]]の分野における'''楕円型偏微分方程式'''（だえんがたへんびぶんほうていしき、{{Lang-en-short|elliptic partial differential equation}}）とは、一般的な二階の[[偏微分方程式]]
: <math>Au_{xx} + 2Bu_{xy} + Cu_{yy} + Du_x + Eu_y + F = 0\,</math>
で次の条件を満たすもののことを言う：
:<math>B^2 - AC < 0.\ </math> 
（ここで、暗に <math>u_{xy}=u_{yx}</math> を意味している）。
 
[[円錐曲線|円錐断面]]や[[二次形式]]を分類する際に[[判別式]] <math>B^2 - 4AC</math> を利用するように、二階の偏微分方程式に対しても、ある与えられた点において、同様の分類が行われる。ただし、上の例のように偏微分方程式の慣習として係数のひとつが「2B」であり、これを前提として対応する判別式は<math>B^2 - AC</math> となる（詳細については「[[:en:partial differential equations#Equations of second order|二階の方程式（英語版）]]」を参照されたい）。前述の形式は、平面上の[[楕円]]の方程式
: <math>Ax^2 + 2Bxy + Cy^2 + \cdots = 0</math> 
と同様のものである。この方程式は（<math>u_{xy}=u_{yx}=0</math> である場合には）
: <math>Au_{xx} + Cu_{yy} + Du_x + Eu_y + F = 0</math>
および <math>Ax^2 + Cy^2 + \cdots = 0</math> へと変わる。これは、標準的な楕円の方程式 <math>{x^2\over a^2}+{y^2\over b^2}-1=0</math> に類似している。

一般的に、''n'' 個の[[線型結合|独立変数]] ''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2 </sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub> が与えられた際に、二階の線型偏微分方程式は次の形で記述される：
: <math>L u =\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{i,j} \frac{\partial^2 u}{\partial x_i \partial x_j} \quad \text{ + (lower-order terms)} =0 \,</math>, 
ここで、L は[[楕円型作用素]]である。

例えば、三次元 (x,y,z) においては
:<math>a\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + b\frac{\partial^2 u}{\partial x\partial y} + c\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + d\frac{\partial^2 u}{\partial y\partial z} + e\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}  \text{ + (lower-order terms)}= 0,</math>
が得られる。ここで、u が{{仮リンク|分離可能方程式|label=完全分離可能|en|separable equation}}（すなわち、u(x,y,z)=u(x)u(y)u(z)）である場合には、
:<math>a\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + c\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + e\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}  \text{ + (lower-order terms)}= 0</math>
が得られる。

これは、[[楕円体]]の方程式 <math>{x^2\over a^2}+{y^2\over b^2}+{z^2\over c^2}-1=0 </math> と対応している。
いちばん簡単な例は,
:<math>\triangle u=f(x)</math>
のような[[ポアソン方程式]]（<math>f(x)=0</math>の場合は[[ラプラス方程式]]）である。

== 関連項目 ==
* [[楕円型作用素]]
* [[双曲型偏微分方程式]]
* [[放物型偏微分方程式]]
* [[ポアソン方程式]]

{{DEFAULTSORT:たえんかたへんひふんほうていしき}}

[[Category:微分方程式]]
[[Category:数学に関する記事]]