楕円型偏微分方程式

テンプレート:出典の明記 数学の分野における楕円型偏微分方程式（だえんがたへんびぶんほうていしき、テンプレート:Lang-en-short）とは、一般的な二階の偏微分方程式

$A{u}_{xx}+2B{u}_{xy}+C{u}_{yy}+D{u}_x+E{u}_y+F=0$

で次の条件を満たすもののことを言う：

$B^2-AC<0.$

（ここで、暗に $u_{xy}=u_{yx}$ を意味している）。

円錐断面や二次形式を分類する際に判別式 $B^2-4AC$ を利用するように、二階の偏微分方程式に対しても、ある与えられた点において、同様の分類が行われる。ただし、上の例のように偏微分方程式の慣習として係数のひとつが「2B」であり、これを前提として対応する判別式は$B^2-AC$ となる（詳細については「二階の方程式（英語版）」を参照されたい）。前述の形式は、平面上の楕円の方程式

$A{x}^2+2Bxy+C{y}^2+\cdots =0$

と同様のものである。この方程式は（$u_{xy}=u_{yx}=0$ である場合には）

$A{u}_{xx}+C{u}_{yy}+D{u}_x+E{u}_y+F=0$

および $A{x}^2+C{y}^2+\cdots =0$ へと変わる。これは、標準的な楕円の方程式 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-1=0$ に類似している。

一般的に、n 個の独立変数 x₁, x₂ , ..., x_n が与えられた際に、二階の線型偏微分方程式は次の形で記述される：

$Lu=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{a}_{i,j}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x_i\partial x_j}\text{ + (lower-order terms)}=0$,

ここで、L は楕円型作用素である。

例えば、三次元 (x,y,z) においては

$a\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+b\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y}+c\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}+d\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y\partial z}+e\frac{{\partial }^{2}u}{\partial z^2}\text{ + (lower-order terms)}=0,$

が得られる。ここで、u がテンプレート:仮リンク（すなわち、u(x,y,z)=u(x)u(y)u(z)）である場合には、

$a\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+c\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}+e\frac{{\partial }^{2}u}{\partial z^2}\text{ + (lower-order terms)}=0$

が得られる。

これは、楕円体の方程式 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}-1=0$ と対応している。 いちばん簡単な例は,

$\mathrm{△}u=f(x)$

のようなポアソン方程式（$f(x)=0$の場合はラプラス方程式）である。

関連項目

• 楕円型作用素
• 双曲型偏微分方程式
• 放物型偏微分方程式
• ポアソン方程式