楕円型複体のソースを表示

[[数学]]の、特に[[偏微分方程式]]や[[微分幾何学]]における'''楕円型複体'''（だえんがたふくたい、{{Lang-en-short|elliptic complex}}）とは、[[楕円型作用素]]の概念を列に一般化したものである。楕円型複体は、[[ホッジ理論]]を展開する上で本質的となる[[ド・ラームコホモロジー|ド・ラーム複体]]と[[ドルボーコホモロジー|ドルボー複体]]に共通の特徴を取り出したものである。[[アティヤ＝シンガーの指数定理]]と[[アティヤ＝ボットの不動点定理]]の関連でも現れる。

== 定義 ==

''E''<sub>0</sub>, ''E''<sub>1</sub>, ..., ''E''<sub>''k''</sub> をある（通常コンパクトに取られる）[[可微分多様体|滑らかな多様体]] ''M'' 上の[[ベクトル束]]とするとき、'''微分複体'''（differential complex）は次の[[微分作用素]]の列

:<math>\Gamma(E_0) \stackrel{P_1}{\longrightarrow} \Gamma(E_1) \stackrel{P_2}{\longrightarrow} \ldots \stackrel{P_k}{\longrightarrow} \Gamma(E_k)</math>

で与えられる。ここでそれらの作用素は、''P''<sub>''i''+1</sub> o ''P''<sub>''i''</sub>=0 であるような ''E''<sub>''i''</sub> の切断の[[層 (数学)|層]]である。微分複体が'''楕円型'''（elliptic）であるとは、[[微分作用素の表象|表象]]の列

:<math>0 \rightarrow \pi^*E_0 \stackrel{\sigma(P_1)}{\longrightarrow} \pi^*E_1 \stackrel{\sigma(P_2)}{\longrightarrow} \ldots \stackrel{\sigma(P_k)}{\longrightarrow} \pi^*E_k \rightarrow 0</math>

がゼロ切断の外側で[[完全系列|完全]]であることを言う。ここで &pi; は ''M'' への[[余接束]] ''T*M'' の射影であり、&pi;* はあるベクトル束の{{仮リンク|引き戻し束|label=引き戻し|en|pullback bundle}}である。

== 関連項目 ==
* [[鎖複体]]

{{Differential-geometry-stub}}
{{デフォルトソート:たえんかたふくたい}}
[[Category:微分幾何学]]
[[Category:楕円型偏微分方程式]]
[[Category:数学に関する記事]]