楕円型複体

数学の、特に偏微分方程式や微分幾何学における楕円型複体（だえんがたふくたい、テンプレート:Lang-en-short）とは、楕円型作用素の概念を列に一般化したものである。楕円型複体は、ホッジ理論を展開する上で本質的となるド・ラーム複体とドルボー複体に共通の特徴を取り出したものである。アティヤ＝シンガーの指数定理とアティヤ＝ボットの不動点定理の関連でも現れる。

定義

E₀, E₁, ..., E_k をある（通常コンパクトに取られる）滑らかな多様体 M 上のベクトル束とするとき、微分複体（differential complex）は次の微分作用素の列

$\mathrm{\Gamma }(E_0)\stackrel{P_1}{⟶}\mathrm{\Gamma }(E_1)\stackrel{P_2}{⟶}\dots \stackrel{P_k}{⟶}\mathrm{\Gamma }(E_k)$

で与えられる。ここでそれらの作用素は、P_i+1 o P_i=0 であるような E_i の切断の層である。微分複体が楕円型（elliptic）であるとは、表象の列

$0\to {\pi }^{*}{E}_0\stackrel{\sigma (P_1)}{⟶}{\pi }^{*}{E}_1\stackrel{\sigma (P_2)}{⟶}\dots \stackrel{\sigma (P_k)}{⟶}{\pi }^{*}{E}_k\to 0$

がゼロ切断の外側で完全であることを言う。ここで π は M への余接束 T*M の射影であり、π* はあるベクトル束のテンプレート:仮リンクである。

関連項目

• 鎖複体