ド・ラームコホモロジー

閉じてはいるが完全ではないテンプレート:仮リンク(punctured plane)上の微分形式に対応するベクトル場、この空間のド・ラームコホモロジーが非自明であることを示している。

ド・ラームコホモロジー（テンプレート:Lang-en-short）とは可微分多様体のひとつの不変量で、多様体上の微分形式を用いて定まるベクトル空間である。多様体の位相不変量である特異コホモロジーとド・ラームコホモロジーは同型になるというド・ラームの定理がある。

簡単な例

多様体上の微分形式 テンプレート:Mvar が テンプレート:Math となるとき閉形式、テンプレート:Math となる テンプレート:Mvar が存在するとき完全形式と呼ぶ。ユークリッド空間においてはポアンカレの補題によれば、閉形式はいつでも完全形式である。つまり テンプレート:Mvar 次微分形式 テンプレート:Mvar が テンプレート:Math ならある テンプレート:Math 次微分形式 テンプレート:Mvar が存在してテンプレート:Math となる。

しかし円周において角測度に対応する テンプレート:Math 次微分形式 テンプレート:Mvar を考える。円周は テンプレート:Math 次元の多様体であるから テンプレート:Math である、すなわち閉形式である。一方で テンプレート:Math となるような円周上全体で定義された微分可能関数 テンプレート:Mvar は存在しない。なぜならそのような関数にたいし テンプレート:Mvar を円周上で積分すると微積分学の基本定理から テンプレート:Math になるが テンプレート:Mvar を円周上で積分すると テンプレート:Math になるからである。このことから テンプレート:Mvar は閉形式であるが完全形式ではないことがわかる。

このように一般の多様体においては閉形式が完全形式であるとはかぎらない。閉形式の空間と完全形式の空間の差をはかるのがド・ラームコホモロジーである。

定義

テンプレート:Mvar を微分可能多様体とし テンプレート:Math を テンプレート:Mvar 上の滑らかな函数の空間、テンプレート:Math を テンプレート:Mvar 上の テンプレート:Mvar 次微分形式の空間とする。テンプレート:Math で外微分をあらわし、上で述べたように テンプレート:Math の元を閉形式、テンプレート:Math の元を完全形式と呼ぶ。テンプレート:Math をみたすことから次の系列

$0\to {\mathrm{\Omega }}^0(M)\stackrel{d^0}{\to }{\mathrm{\Omega }}^1(M)\stackrel{d^1}{\to }{\mathrm{\Omega }}^2(M)\stackrel{d^2}{\to }{\mathrm{\Omega }}^3(M)\to \cdots$

は複体であり、これをド・ラーム複体と呼ぶ。この複体のコホモロジーがド・ラームコホモロジーである。すなわち、閉形式の空間を完全形式の空間でわった商

$H_{\mathrm{d}\mathrm{R}}^k(M)=\mathrm{Ker}{d}_k/\mathrm{Im}{d}_{k-1}$

が テンプレート:Mvar 次ド・ラームコホモロジー群である。

定義からわかるように テンプレート:Math であることと任意の テンプレート:Mvar 次閉形式が完全形式であることが同値である。

計算例

テンプレート:Mvar 個の連結成分からなる任意の多様体 テンプレート:Mvar に対し、

$H_{\mathrm{d}\mathrm{R}}^0(M)\cong {𝐑}^n$

が成り立つ。これは、微分が テンプレート:Math である テンプレート:Mvar 上の滑らかな函数は局所定数関数であるという事実から従う。

ポアンカレの補題から可縮な多様体 テンプレート:Mvar についてそのド・ラームコホモロジーは テンプレート:Math に対し

$H_{\mathrm{d}\mathrm{R}}^k(M)=0$

をみたす。

ド・ラームコホモロジーを計算する上で有用な事実はマイヤー・ヴィートリス完全系列の存在およびホモトピー不変性である。ド・ラームコホモロジーを計算した結果を以下に挙げる。

[[n次元球面|テンプレート:Mvar 次元球面]] (テンプレート:Mvar-sphere)

[[超球面|テンプレート:Mvar 次元球面]] テンプレート:Mvar と開区間との積を考える。テンプレート:Math, テンプレート:Math とし、テンプレート:Mvar を実数の開区間とすると、

$H_{\mathrm{d}\mathrm{R}}^k(S^n\times I^m)\simeq \{\begin{array}{cc}𝐑& \text{if }k=0,n,\\ 0& \text{if }k\ne 0,n\end{array}$

が成立する。

[[トーラス#n-次元トーラス|テンプレート:Mvar 次元トーラス]] (テンプレート:Mvar-torus)

テンプレート:Math に対し、テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar 次元トーラスとすると、

$H_{\mathrm{d}\mathrm{R}}^k(T^n)\simeq {𝐑}^{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}$

となる。

穴のあいたユークリッド空間

穴のあいたユークリッド空間とは、単に原点を取り除いたユークリッド空間のことを言う。テンプレート:Math に対し、次が成り立つ。

$H_{\mathrm{d}\mathrm{R}}^k({𝐑}^n-\{0\})$

$\simeq H_{\mathrm{d}\mathrm{R}}^k(S^{n-1})$

$\simeq \{\begin{array}{cc}𝐑& \text{if }k=0,n-1,\\ 0& \text{if }k\ne 0,n-1.\end{array}$

メビウスの帯

メビウスの帯 テンプレート:Mvar は円周 テンプレート:Math とホモトピー同値なので、ホモトピー不変性から、

$H_{\mathrm{d}\mathrm{R}}^k(M)\simeq \{\begin{array}{cc}𝐑& \text{if }k=0,1,\\ 0& \text{if }k\ne 0,1.\end{array}$

ド・ラームの定理

テンプレート:Mvar を微分可能多様体とする。特異チェイン テンプレート:Math と テンプレート:Mvar 次微分形式 テンプレート:Mvar にたいし、積分 テンプレート:Math を考える。ストークスの定理から閉形式 テンプレート:Mvar にたいし

$\underset{\sigma +\partial \tau }{\int }\omega =\underset{\sigma }{\int }\omega +\underset{\tau }{\int }d\omega =\underset{\sigma }{\int }\omega$

となり、特異サイクル テンプレート:Mvar にたいし

$\underset{\sigma }{\int }\omega +d\eta =\underset{\sigma }{\int }\omega +\underset{\partial \sigma }{\int }\eta =\underset{\sigma }{\int }\omega$

となる。このことからド・ラームコホモロジーと特異ホモロジーの間にペアリングを定める事ができ、特異ホモロジーの双対である特異コホモロジーへの線形写像

$I:H_{\mathrm{d}\mathrm{R}}^p(M)\to H^p(M;ℝ)$

が定義される。具体的にかくと、ド・ラームコホモロジー類 テンプレート:Math から定まる テンプレート:Math 上の線形形式 テンプレート:Math が、サイクル類 テンプレート:Math を $\underset{c}{\int }\omega$ にうつすものとしてあたえられる。ド・ラームの定理は、この写像 テンプレート:Mvar が同型であるという定理である。

さらに微分形式のウェッジ積と特異コホモロジーのカップ積が整合的であり、この積から定まる2つのコホモロジー環は（次数付き環として）同型となることも言っている。

チェックコホモロジーとの比較

ド・ラームコホモロジーは、ファイバー テンプレート:Math を持つテンプレート:仮リンクのテンプレート:仮リンクと同型である。

$H_{\mathrm{d}\mathrm{R}}^k(M)\cong {\check{H}}^k(M,𝐑).$

証明

テンプレート:Math で テンプレート:Mvar 上の テンプレート:Mvar 形式の芽の層を表すとする（テンプレート:Math を テンプレート:Math の上の テンプレート:Math 級函数を表すとする）。ポアンカレの補題によって、次は層の完全系列となる。

$0\to 𝐑\to {\mathrm{\Omega }}^0\stackrel{d}{\to }{\mathrm{\Omega }}^1\stackrel{d}{\to }{\mathrm{\Omega }}^2\stackrel{d}{\to }\dots \stackrel{d}{\to }{\mathrm{\Omega }}^m\to 0.$

上記の系列は短完全列へと分解する。

$0\to d{\mathrm{\Omega }}^{k-1}\stackrel{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{l}}{\to }{\mathrm{\Omega }}^k\stackrel{d}{\to }d{\mathrm{\Omega }}^k\to 0.$

これらの各々の短完全系列は、コホモロジーの長完全系列を引き起こす。

多様体上の テンプレート:Math 級函数の層は1の分割を持っているので、テンプレート:Math にたいし層係数コホモロジー テンプレート:Math は テンプレート:Math であり、コホモロジーの長完全系列から テンプレート:Math となる。これを繰り返す事で主張の同型がえられる。

関連するアイデア

テンプレート:Mvar がコンパクトで向き付けられた多様体でリーマン計量をもつとする。このとき テンプレート:Mvar のド・ラームコホモロジーはホッジ理論によりホッジ分解をもつ。また テンプレート:Mvar が複素多様体であれば、ド・ラームコホモロジーの類似としてドルボーコホモロジーが定義される。他にもアティヤ・シンガーの指数定理など、多くの数学的なアイデアを呼び起こした。

関連項目

• ホッジ理論
• ホッジ構造
• ケーラー多様体

参考文献

• テンプレート:Citation
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外部リンク

• テンプレート:SpringerEOM