楕円積分のソースを表示

以下の[[積分法|定積分]]をそれぞれ、第一種、第二種、第三種の'''楕円積分'''（だえんせきぶん、{{lang-en-short|elliptic integral}}）という。ただし、<math>-1\leq k \leq 1</math>である。
:<math>\begin{align}
F(x,k) &= \int_0^x \frac{dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2 t^2)}} \\
E(x,k) &= \int_0^x \sqrt{\frac{1-k^2 t^2}{1-t^2}} ~ dt \\
\Pi(a;x,k) &= \int_0^x \frac{dt}{(1-at^2)\sqrt{(1-t^2)(1-k^2 t^2)}}
\end{align}</math>
定数<math>k</math>を[[母数]]（modulus）、<math>a</math>を特性（characteristic）という。母数<math>k</math>の代わりにパラメーター<math>m=k^2</math>、あるいはモジュラー角<math>\alpha=\sin^{-1}k</math>を用いることもあり、慣れない人を混乱させる種になっている。日本語の場合は、特性<math>a</math>を助変数（通常はparameterの訳語）と称することもあるので更に注意が必要である。

[[楕円]]の[[弧長]]など、三次式、或いは四次式の[[平方根]]の[[積分]]や[[五次方程式|五次]]以上の[[代数方程式|高次方程式]]は楕円積分に帰着し、初等的に求まらないことが知られている。
<!-- また、第一種・第二種楕円積分には二つの引数、第三種楕円積分には三つの引数が必要である。 -->

== ルジャンドルの標準形 ==
最初に示したものは[[カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビ|ヤコービ]]の標準形であるが、ヤコービの標準形において積分変数<math>t=\sin{\theta}</math>と置けば([[置換積分]])、幾らか簡単な[[アドリアン＝マリ・ルジャンドル|ルジャンドル]]の標準形が得られる<ref>ルジャンドルの標準形のφとヤコービの標準形のxとの間には、<math>\sin{\varphi}=x</math>の関係がある。詳しくは[[置換積分]]を参照。

実際に置換積分を行う際には、<math>t=\sin{\theta}</math>より<math>\frac{dt}{d\theta}= \cos{\theta}</math>、<math>\sqrt{1-t^2}=\sqrt{1-\sin^2{\theta}}=\cos{\theta}</math>となり、<math>\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}= d\theta</math>と変形されることに留意せよ。</ref>。
:<math>\begin{align}
F(\varphi,k) &= \int_0^\varphi \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}} \\
E(\varphi,k) &= \int_0^\varphi \sqrt{1-k^2\sin^2\theta} ~ d\theta \\
\Pi(a;\varphi,k) &= \int_0^\varphi \frac{d\theta}{(1-a\sin^2\theta)\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}}
\end{align}</math>


== 特定の母数の場合 ==
=== ヤコービの標準形 ===
<math>k=0</math>の場合は[[逆三角関数]]に、<math>k=1</math>の場合は[[逆双曲線関数]]になる<ref>第二種楕円積分では、k=1と置くと双曲線関数でもない[[一次関数|一次式]]のxとなる。</ref>。
:<math>\begin{align}
F(x,0) &= \int_0^x{\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt}=\int_0^{\sin^{-1}x}{\frac1{\sqrt{1-\sin^2\theta}}}(\sin\theta)'d\theta = \sin^{-1}x \\
F(x,1) &= \int_0^x{\frac{1}{1-t^2}dt}=\int_0^{\tanh^{-1}x}{\frac1{1-\tanh^2\theta}}(\tanh\theta)'d\theta=\tanh^{-1}x \\
E(x,0) &= \int_0^x{\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt}=\sin^{-1}x \\
E(x,1) &= \int_0^x{dt}=x
\end{align}</math>
=== ルジャンドルの標準形 ===
:<math>\begin{align}
F(\varphi,0) &= E(\varphi,0)=\varphi \\
F(\varphi,1) &= \int_0^{\varphi}{\frac1{\sqrt{1-\sin^2\theta}}}d\theta = \operatorname{gd}^{-1}\varphi \\
E(\varphi,1) &= \int_0^{\varphi}{\sqrt{1-\sin^2\theta}} ~ d\theta = \sin\varphi \\
\end{align}</math>
ただし、<math>\operatorname{gd}^{-1}\varphi</math>は逆[[グーデルマン関数]]である。また特に<math>a=k^2</math>のとき、第三種楕円積分は第二種楕円積分で表すことができて、
:<math>\Pi(k^2;\varphi,k)=\frac{1}{1-k^2}\left\{E(\varphi,k)-\frac{k^2\sin2\varphi}{2\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}}\right\}=\frac{1}{1-k^2}\left\{E(\varphi,k)+\frac{d^2}{d\varphi^2}E(\varphi,k)\right\}</math>
となる。

== 第一種完全楕円積分 ==
第一種完全楕円積分は、ルジャンドルの標準形における第一種楕円積分の積分範囲を<math>\theta=\pi/2</math>までとしたものである<ref>ヤコービの標準形においては、積分範囲は<math>t=1</math>までとなる。

<math>K(k)=F\left(1,k\right)= \int_0^1 \frac{dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2 t^2)}}</math></ref>。
:<math>K(k)=F\left(\frac{\pi}{2},k\right)=\int_0^{\pi/2}{\frac{1}{\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}}}d\theta</math>
<math>k^2\sin^2\theta</math>の[[テイラー級数]]に展開した後、[[ウォリスの公式]]を用いて項別に積分すると
:<math>\begin{align}K(k)
&=\int_0^{\pi/2}{\left(1-k^2\sin^2\theta\right)^{-\frac{1}{2}}}d\theta\\
&=\int_0^{\pi/2}{\left(1+\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(2n-1)!!}{2^n}\frac{(k^2\sin^2\theta )^n}{n!}}\right)}d\theta\\
&=\frac{\pi}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}k^{2n}\int_0^{\pi/2}{\sin^{2n}\theta}d\theta}\\
&=\frac{\pi}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}k^{2n}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{\pi}{2}}\\
&=\frac{\pi}{2}\left(1+\sum_{n=1}^{\infty}{\left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)^2k^{2n}}\right)\\
&=\frac{\pi}{2}\sum_{n=0}^{\infty}{\left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)^2k^{2n}}\\
\end{align}</math>
となる。ただし、<math>(-1)!!=1</math><ref>詳しくは[[二重階乗]]の記事を参照。</ref>と定義する。

== 第二種完全楕円積分 ==
第二種完全楕円積分は、ルジャンドルの標準形における第二種楕円積分の積分範囲を<math>\theta=\pi/2</math>までとしたものである<ref>ヤコービの標準形においては、積分範囲は<math>t=1</math>までとなる。

<math>E(k)=E\left(1,k\right)= \int_0^1 \sqrt{\frac{1-k^2 t^2}{1-t^2}} ~ dt</math></ref>。
{{Indent|<math>E(k)=E\left(\frac{\pi}{2},k\right)=\int_0^{\pi/2}{\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}}d\theta</math>}}
<math>k^2\sin^2\theta</math>のテイラー級数に展開した後、ウォリスの公式を用いて項別に積分すると
{{Indent|<math>\begin{align}E(k)
&=\int_0^{\pi/2}{\left(1-k^2\sin^2\theta\right)^{\frac{1}{2}}}d\theta\\
&=\int_0^{\pi/2}{\left(1-\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(2n-1)!!}{(2n-1)2^n}\frac{(k^2\sin^2\theta )^n}{n!}}\right)}d\theta\\
&=\frac{\pi}{2}-\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(2n-1)!!}{(2n-1)(2n)!!}k^{2n}\int_0^{\pi/2}{\sin^{2n}\theta}d\theta}\\
&=\frac{\pi}{2}-\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(2n-1)!!}{(2n-1)(2n)!!}k^{2n}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{\pi}{2}}\\
&=\frac{\pi}{2}\left(1-\sum_{n=1}^{\infty}{\left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)^2\frac{k^{2n}}{2n-1}}\right)\\
&=\frac{\pi}{2}\sum_{n=0}^{\infty}{\left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)^2\frac{k^{2n}}{1-2n}}\\
\end{align}</math>}}
となる。ただし、<math>(-1)!!=1</math>と定義する。

== ルジャンドルの関係式 ==
次の[[恒等式]]を[[ルジャンドルの関係式]]という。
{{Indent|<math>K(k)E\left(\sqrt{1-k^2}\right)+E(k)K\left(\sqrt{1-k^2}\right)-K(k)K\left(\sqrt{1-k^2}\right)=\frac{\pi}{2}</math>}}

== ランデン変換とガウス変換 ==
次の恒等式を[[ランデン変換]]という。
{{Indent|<math>F\left(\sin\alpha,k\right)=\frac{2}{1+k}F\left(\frac{1}{2}\sqrt{\left(1+k\right)^2\sin^2\alpha+\left(\sqrt{1-k^2\sin^2\alpha}-\sqrt{1-\sin^2\alpha}\right)^2},\frac{2\sqrt{k}}{1+k}\right)</math>}}
次の恒等式を[[ランデン変換|ガウス変換]]という。
{{Indent|<math>F\left(\sin\alpha,k\right)=\frac{1}{1+k}F\left(\frac{(1+k)\sin\alpha}{1+k\sin^2\alpha},\frac{2\sqrt{k}}{1+k}\right)</math>}}

== 楕円積分の応用 ==

=== 楕円の弧長 ===
楕円<math>x^2 + (y/c)^2 = 1</math>の弧長は、
{{Indent|<math>\begin{align}
L&=\int{ds}=\int{\sqrt{dx^2+dy^2}}=\int{\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}}dx\\
&=\int{\sqrt{1+\left(\mp\frac{cx}{\sqrt{1-x^2}}\right)^2}}dx\\
&=\int{\sqrt{\frac{1-x^2+c^2x^2}{1-x^2}}}dx
\end{align}</math>}}
となる。[[離心率]]<math>k=\sqrt{1-c^2}</math>を用いれば、上式は、
{{Indent|<math>L=\int{\sqrt{\frac{1-k^2x^2}{1-x^2}}}dx</math>}}
となり、第二種楕円積分が現れる。
したがって、楕円の円周上で<math>x</math>座標が<math>0</math>の点から<math>x</math>座標が<math>x</math>の点までの弧長は<math>L(x)=E(x,k)</math>となる。
ここで<math>k=0</math>とすれば楕円は真円になり、弧長は<math>L(x)=E(x,0)=\sin^{-1}{x}</math>となる（ここでは<math>\sin</math>が<math>x</math>軸の方向になっていることに注意すること。）。
{{See also|子午線弧#子午線弧長の計算}}
=== 単振子の周期 ===
{{See|振り子#単振り子の等時性の破れ}}

== 脚注 ==
{{Reflist|1}}

== 参考文献 ==
* {{Cite book|和書 |author=[[森口繁一]]・宇田川銈久・一松信 |title=岩波 数学公式I 微分積分・平面曲線 |publisher=[[岩波書店]] |pages=140-151 |year=1987 |edition=新装版 |isbn=978-4000055079}}
* 竹内端三「楕円函数論」岩波全書(1936年5月15日）、ISBN 978-4-000213271.
* Cody, W. J.: "Chebyshev approximations for the elliptic integrals K and E", Math. Comp., vol.19, pp.105-112 (1965).
* Roland Bulirsch: "Numerical calculation of elliptic integrals and elliptic functions", Numer. Math.,vol.7, pp.78–90 (1965).
* Paul F. Byrd,and Morris D. Friedman: ''Handbook of Elliptic Integrals for Engineers and Scientists'', 2nd Ed., Springer-Verlag, ISBN 978-3-642-65138-0 (1971).
* Toshio Fukushima: "Fast computation of complete elliptic integrals and Jacobian elliptic functions", Celest Mech Dyn Astr, vol.105, pp.305328 (2009).
* [https://hal.inria.fr/hal-01817952 Fredrik Johansson: "Numerical Evaluation of Elliptic Functions, Elliptic Integrals and Modular Forms" (2018).]

== 関連項目 ==
* [[楕円関数]]
* [[振り子]]
* [[レムニスケート]]

== 外部リンク ==
* {{高校数学の美しい物語|2651|楕円積分の意味と身近な4つの例}}

{{DEFAULTSORT:たえんせきふん}}
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:微分積分学]]
[[Category:積分法]]
[[Category:特殊関数]]