極と極線のソースを表示


{{混同|曲線}}
{{Otheruseslist|'''[[数学]]における[[図形]]の「極、極線」'''|その他の用法|極|その他の用法|極線}}
[[ファイル:Pole and polar.svg|右|サムネイル|中心を{{Mvar|'''O'''}}、半径を{{Mvar|r}}とする円に関する点{{Mvar|'''Q'''}}の極線{{Mvar|q}}。点{{Mvar|'''P'''}}は{{Mvar|'''Q'''}}を円により反転した点でq上にある。{{Mvar|OQ}}と{{Mvar|q}}は直交する。]]
'''極'''（きょく、{{Lang-en-short|Pole}}）と'''極線'''（きょくせん<ref>{{Cite Kotobank |word=極線 |encyclopedia=デジタル大辞泉、精選版 日本国語大辞典 |access-date=2024-08-03}}</ref>、{{Lang-en-short|polar, polar line}}）は、[[幾何学]]において、[[円錐曲線]]に関する[[点 (数学)|点]]と[[直線]]を指す用語<ref name=":1">{{Cite book |和書 |author=エヴァン・チェン |others=森田康夫 監訳、兒玉太陽、熊谷勇輝、宿田彩斗、平山楓馬 訳 |title=数学オリンピック幾何への挑戦 ユークリッド幾何学をめぐる船旅 |publisher=日本評論社 |date=2023-02 |isbn=978-4-535-78978-4 |page=}}</ref><ref name=":02">{{Cite book |和書 |author=[[ジョン・ケイシー (数学者)|ジョン・ケージー]] |others=[[山下安太郎]]、[[高橋三蔵]] |title=幾何学続編 |publisher=[[有朋堂]] |year=1909 |id={{NDLJP|828521}} |pages=56-57,187-196}}</ref><ref>{{Cite book |和書 |author=中川銓吉 |author-link=中川銓吉 |title=近世綜合幾何学演習 |publisher=[[共立出版]] |year=1948 |id={{NDLJP|1063414}} |page=219}}</ref><ref>{{Cite book |和書 |author=森本清吾 |author-link=森本清吾 |title=初等幾何学 |publisher=朝倉書店 |year=1953 |id={{NDLJP|1372292}} |page=}}</ref>。極は点であることを強調するため'''極点'''とも言われる<ref>{{Cite book |和書 |author=窪田忠彦 |author-link=窪田忠彦 |title=近世幾何学 |publisher=[[岩波書店]] |year=1947 |id={{NDLJP|1063410}} |pages=35-71,103,130}}</ref><ref name=":0">{{Cite book |和書 |author={{仮リンク|ウィリアム・ショヴネー|label=ショヴネー|en|William Chauvenet}} |others=[[乙部兵義]] 訳 |title=ショヴネー氏幾何教科書 |volume=下巻 |publisher=[[開新堂]] |year=1891 |id={{NDLJP|828565}} |pages=144,147}}</ref>。

与円による極と極線の相反変換（Polar reciprocation）は、点を直線に、直線を点に変換する。

== 性質 ==
極と極線はいくつかの有用な性質を持つ。

* 点{{Mvar|'''P'''}}が直線{{Mvar|l}}上にあるとき、{{Mvar|l}}の極{{Mvar|'''L'''}}は、{{Mvar|'''P'''}}の極線上にある（'''ラ・イールの定理'''、La Hire's theorem）<ref name=":1" /><ref>{{Cite book |和書 |author=林鶴一 |author-link=林鶴一 |title=軌跡問題 初等幾何學 |edition=第4版 |publisher=大倉書店 |series=數學叢書 |year=1910 |id={{NDLJP|1082013}} |page=}}</ref>。
* 点{{Mvar|'''P'''}}が直線{{Mvar|l}}上を動くとき、{{Mvar|'''P'''}}の極線は{{Mvar|l}}の極を中心に[[回転]]する。
* 極を通る円錐曲線の2つの[[接線]]の[[接点 (数学)|接点]]は極線上にある。
* 円錐曲線上の点の極線は、その点における円錐曲線の接線である。
* 点が自身の極線上にあるならば、その点は円錐曲線上にある。
* どの直線も、退化していない円錐曲線に対して、極を持つ。
== 円の場合 ==
円錐曲線が円である場合は[[反転幾何学|反転]]と深い関係を持つ。もととなる円を{{Mvar|C}}とする。極線{{Mvar|L}}の極は、{{Mvar|L}}の円の中心に最も近い点（円の中心を通る垂線の垂足）を{{Mvar|C}}において反転した点となる。逆に、点{{Mvar|'''Q'''}}の極線は、{{Mvar|'''Q'''}}を{{Mvar|C}}において反転した点{{Mvar|'''P'''}}を通り、直線上の点の中で円の中心と最も近い点が{{Mvar|'''P'''}}となるような直線となる。
[[ファイル:Conjugate points and lines.svg|右|サムネイル|点{{Mvar|'''Q'''}}の極線{{Mvar|q}}上の点{{Mvar|'''A'''}}の極線{{Mvar|a}}は{{Mvar|'''Q'''}}を通る。 ]]
極と極線の関係は相互的である。点{{Mvar|'''Q'''}}の極線{{Mvar|q}}上の点{{Mvar|'''A'''}}の極線{{Mvar|a}}は{{Mvar|'''Q'''}}を通る。 

円の外側に極{{Mvar|'''P'''}}がある場合、その極線は別の定義をすることもできる。{{Mvar|'''P'''}}を通る{{仮リンク|円の接線|en|Tangent lines to circles}}は高々2個存在する。この2接線の接点を通る直線は{{Mvar|'''P'''}}の極線となる。この定義から、退化していない[[円錐曲線]]に対する極と極線へ一般化することができる。

== 変換 ==
{{Main|相互関係 (射影幾何学)}}
[[ファイル:Incidence poles polars.svg|右|サムネイル|点と直線の[[双対]]性の画像。2直線{{Mvar|a,k}}が一点{{Mvar|'''Q'''}}を通るとき、 {{Mvar|'''Q'''}}の極線{{Mvar|q}}は{{Mvar|a,k}}の極を結んだ直線となる。]]
極と極線の概念は[[射影幾何学]]にも発展できる。例えば、与えられた極と円錐曲線に対する[[調和共役 (幾何学)|射影調和共役]]点の集合は極線となる。 点を曲線に置き換える操作、またその逆の操作は極系（polarity）と呼ばれる<ref>{{Cite book |和書 |author=吉川実 |title=近世総合幾何学 |publisher=大日本図書 |series=数学叢書 |year=1907 |id={{NDLJP|828610}} |page=275}}</ref>。

極系は[[対合]]として知られる相互関係でもある。

任意の点{{Mvar|'''P'''}}とその極線{{Mvar|p}}について、{{Mvar|p}}上の他の点{{Mvar|'''Q'''}}は{{Mvar|'''P'''}}を通る直線{{Mvar|q}}の極である。これは相互的な関係を構築し、その逆の操作も相互的になる<ref>Edwards, Lawrence; ''Projective Geometry'', 2nd Edn, Floris (2003). pp. 125-6.</ref>。

== 円錐曲線への一般化 ==
[[ファイル:Pool poollijn.svg|サムネイル|直線{{Mvar|p,l,m}}はそれぞれ点{{Mvar|'''P''','''L''','''M'''}}の極線。]]
[[ファイル:Pool poollijn eig.svg|サムネイル|''直線{{Mvar|p,m}}はそれぞれ点{{Mvar|'''P''','''M'''}}''の極線。]]
極と極線の概念は円から[[円錐曲線]]（[[楕円]]、[[双曲線]]、[[放物線]]等）へ拡張できる。{{仮リンク|接続関係 (幾何学)|en|Incidence (geometry)|label=接続関係}}や[[複比]]、[[射影変換]]などに関わる性質は、一般化しても同様に成り立つ。

=== 極線の計算 ===
一般化された円錐曲線は[[ユークリッド平面|平面]][[直交座標系]]{{Math|(''x'' , ''y'')}}で、二次曲線として次の式で表すことができる。

<math display="block">
A_{xx} x^2 + 2 A_{xy} xy + A_{yy} y^2 + 2 B_{x} x + 2 B_{y} y + C = 0
</math>

ただし<math>
A_{xx},A_{xy},A_{yy},B_{x},B_{y},C
</math>は[[定数]]とする。点{{Math|(''ξ'', ''η'')}}の極線の方程式は次の形で与えられる。

<math display="block">
D x + E y + F = 0\,
</math>

ただし

<math display="block">\begin{align}
  D &= A_{xx} \xi + A_{xy} \eta + B_{x} \\
  E &= A_{xy} \xi + A_{yy} \eta + B_{y} \\
  F &= B_{x} \xi + B_{y} \eta + C
\end{align}</math>

=== 極の計算 ===
[[直線]]<math> D x + E y + F = 0 </math>の非退化円錐曲線<math display="block">
A_{xx} x^{2} + 2 A_{xy} xy + A_{yy} y^{2} + 2 B_{x} x + 2 B_{y} y + C = 0
</math>に関する極は次の2つの過程で求まる。

まず次の式のx,y,zを求める。

<math display="block">
\begin{bmatrix}
  x \\ y \\ z
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
  A_{xx} & A_{xy} & B_{x} \\
  A_{xy} & A_{yy} & B_{y} \\
  B_{x}  & B_{y}  & C
\end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix}
  D \\ E \\ F
\end{bmatrix}
</math>

<math> \left( \frac{x}{z} , \frac{y}{z} \right) </math>が与えられた直線の極となる。

=== 極と極線の関係の表 ===

{| class="wikitable" style="background-color:white;"
!円錐曲線
!円錐曲線の方程式
!<math>P = (x_0,y_0)</math>の極線 
|-
|[[円 (数学)|円]]
|<math> x^2 + y^2 = r^2 </math>
|<math> x_0 x + y_0 y = r^2 </math>
|-
|[[楕円]]
|<math> \left(\frac{ x } { a }\right)^2 + \left(\frac{ y } { b }\right)^2 = 1 </math>
|<math> \frac{ x_0 x } { a^2 } + \frac{ y_0 y } { b^2 } = 1 </math>
|-
|[[双曲線]]
|<math> \left(\frac{ x } { a }\right)^2 - \left(\frac{ y } { b }\right)^2 = 1 </math>
|<math> \frac{ x_0 x } { a^2 } - \frac{ y_0 y } { b^2 } = 1 </math>
|-
|[[放物線]]
|<math> y = a x^2 </math>
|<math> y+y_0 = 2ax_0x </math>
|}


{| class="wikitable" style="background-color:white;"
!円錐曲線
!円錐曲線の方程式
!直線{{Math|1=''u x'' + ''v y'' = ''w''}}の極
|-
|円
|<math> x^2 +y^2 = r^2 </math>
|<math> \left( \frac{ r^2 u } { w }, \; \frac{ r^2 v } { w } \right)</math>
|-
|楕円
|<math> \left(\frac{ x } { a }\right)^2 + \left(\frac{ y } { b }\right)^2 = 1 </math>
|<math> \left( \frac{ a^2 u } { w }, \; \frac{ b^2 v } { w } \right)</math>
|-
|双曲線
|<math> \left(\frac{ x } { a }\right)^2 - \left(\frac{ y } { b }\right)^2 = 1 </math>
|<math> \left( \frac{ a^2 u } { w }, \;  -\frac{ b^2 v } { w } \right)</math>
|-
|放物線
|<math>  y = a x^2 </math>
|<math> \left(  -\frac{ u} { 2av }, \;  -\frac{ w} { v } \right)</math>
|}

=== 完全四辺形 ===
[[射影幾何学]]では、平面上の任意の2直線は必ず交わるとされる。 4つの直線は{{仮リンク|完全四辺形|en|Complete quadrangle}}と呼ばれる[[四角形]]を成す。また4点を結ぶ直線の交点は対角点（diagonal point）と呼ばれる。

円錐曲線{{Mvar|C}}上にない点{{Mvar|Z}}を与え、{{Mvar|Z}}を通る2つ{{Mvar|C}}の割線を作る。割線と{{Mvar|C}}の交点{{Mvar|A,B,D,E}}から完全四辺形を作る。すると{{Mvar|Z}}はこの完全四辺形の対角点の一つとなる。他の二つの対角点を結ぶ直線は{{Mvar|Z}}の極線となる（ブロカールの定理、Brocard's theorem）<ref name=":1" /><ref>{{Cite book |title=Synthetic projective geometry |url=http://archive.org/details/syntheticproject00halsuoft |publisher=New York Wiley |date=1906 |others=Gerstein - University of Toronto |first=George Bruce |last=Halsted}}</ref>。

== 応用 ==
極と極線は、元は[[ジョセフ・ジェルゴンヌ]]が[[アポロニウスの問題]]を解くために定義したものである<ref>{{Cite web |url=http://www.ajur.uni.edu/v3n1/Gisch%20and%20Ribando.pdf |title=Apollonius' Problem: A Study of Solutions and Their Connections |access-date=2013-06-04}}</ref>。

平面力学において pole（極）は回転の中心、polar は[[力の流れ|力線]]、conic は慣性の[[質量行列]]の役割を果たす<ref>[http://helix.gatech.edu/Papers/1999/AlexiouThesis.pdf John Alexiou Thesis,  Chapter 5, pp. 80–108] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110719195653/http://helix.gatech.edu/Papers/1999/AlexiouThesis.pdf|date=2011-07-19}}</ref>。pole と polar の関係は剛体の{{仮リンク|打撃の中心|en|Center of percussion}}の定義で使用される。極が hinge point ならば、極線は{{仮リンク|螺旋理論|en|Screw theory}}における percussion line となる。

== 出典 ==
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
* {{Cite book |last=Johnson |first=R.A. |author-link=ロジャー・アーサー・ジョンソン |year=1960 |title=Advanced Euclidean Geometry: An Elementary treatise on the geometry of the Triangle and the Circle |url=https://archive.org/details/geometryrevisite00coxe/page/n143 |publisher=Dover Publications |location=New York |pages=100&ndash;105}}
* {{Cite book |title=Geometry Revisited |last=Coxeter |first=HSM |author-link=:en:Harold Scott MacDonald Coxeter |last2=Greitzer |first2=SL |author2-link=:en:S. L. Greitzer |year=1967 |publisher=[[:en:Mathematical Association of America|MAA]] |location=[[Washington, D.C.|Washington]] |isbn=978-0-88385-619-2 |pages=132&ndash;136, 150}}
* {{Cite book |last=Gray |first=J J |year=2007 |title=Worlds Out of Nothing: A Course in the history of Geometry in the 19th century |url=https://archive.org/details/worldsoutnothing00jgra/page/n42 |publisher=Springer Verlag |location=London |isbn=978-1-84628-632-2 |page=21}}
* {{Cite book |last=Korn |first=GA |last2=Korn |first2=TM |author2-link=:en:Theresa M. Korn |year=1961 |title=Mathematical Handbook for Scientists and Engineers |publisher=McGraw-Hill |location=New York |pages=43&ndash;45 |lccn=59014456}}  The paperback version published by Dover Publications has the {{ISBN2|978-0-486-41147-7}}.
* {{Cite book |last=Wells |first=D |year=1991 |title=The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry |url=https://archive.org/details/penguindictionar0000well/page/190 |publisher=Penguin Books |location=New York |isbn=0-14-011813-6 |pages=190&ndash;191}}

== 関連項目 ==
* {{仮リンク|双対多角形|en|Dual polygon}}
* [[双対多面体]]
* {{仮リンク|極曲線|en|Polar curve}}
* [[三線極線|三線極点]]
* [[直極点]]

== 外部リンク ==
* [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/PolePolar.shtml Interactive animation with multiple poles and polars] at Cut-the-Knot
* {{Webarchive |url=https://web.archive.org/web/20120701181134/http://www.geogebra.org/de/examples/polare/polare_kreis.html |title=Interactive animation with one pole and its polar}}
* [https://wrcstewart.github.io/Pole-Polar-Demo/ Interactive 3D with coloured multiple poles/polars - open source]
* {{MathWorld|title=Polar|urlname=Polar}}
* {{MathWorld|title=Reciprocation|urlname=Reciprocation}}
* {{MathWorld|title=Inversion pole|urlname=InversionPole}}
* {{MathWorld|title=Reciprocal curve|urlname=ReciprocalCurve}}
* {{Webarchive |url=https://web.archive.org/web/20080411102225/http://www.ping.be/~ping1339/pole.htm |title=Tutorial}} at Math-abundance
* {{高校数学の美しい物語|814|極線の方程式の証明と応用}}

{{デフォルトソート:きよくときよくせん}}
[[Category:円 (数学)]]
[[Category:射影幾何学]]
[[Category:直線]]
[[Category:数学に関する記事]]