極位相のソースを表示

[[数学]]の[[関数解析学]]の分野における'''極位相'''（きょくいそう、{{Lang-en-short|polar topology}}）あるいは'''<math>\mathcal{A}</math>-収束の位相'''または'''<math>\mathcal{A}</math>の集合上の一様収束位相'''とは、[[双対位相|双対組]]の[[ベクトル空間]]に対して定義されるある[[局所凸位相ベクトル空間|局所凸位相]]のことをいう。

== 定義 ==
[[実数]]あるいは[[複素数]]の[[体 (数学)|体]]上のベクトル空間 <math>X</math> と <math>Y</math> の双対組を <math>(X,Y,\langle , \rangle)</math> と表す。

集合 <math>A\subseteq X</math> が <math>X</math> において <math>Y</math> に関して有界であるとは、各元 <math>y\in Y</math> に対する値の集合 <math>\{\langle x,y\rangle; x\in A\}</math> が有界であることをいう。すなわち、次が成り立つことをいう。
:<math>
\forall y\in Y\qquad \sup_{x\in A}|\langle x,y\rangle|<\infty.
</math>

この条件は、<math>Y</math> 内の集合 <math>A</math> の[[極集合|極]] 
:<math>
A^\circ=\{ y\in Y:\quad \sup_{x\in A}|\langle x,y\rangle|\le 1\}
</math>
が <math>Y</math> 内の[[併呑集合]]であることと同値である。すなわち、次と同値である。
:<math>
\bigcup_{\lambda\in{\mathbb F}}\lambda\cdot A^\circ=Y.
</math>

今 <math>\mathcal{A}</math> は <math>X</math> 内の <math>Y</math> に関する有界集合の族とし、次の性質が成り立つものとする：
* <math>X</math> の各点 <math>x</math> はある集合 <math>A\in{\mathcal A}</math> に属する。すなわち、次が成り立つ。
: <math>
    \forall x\in X\qquad \exists A\in {\mathcal A}\qquad x\in A,
  </math>
* 二つの集合 <math>A\in{\mathcal A}</math> は <math>B\in{\mathcal A}</math> ある集合 <math>C\in{\mathcal A}</math> に含まれる。すなわち、次が成り立つ。
: <math>
    \forall A,B\in {\mathcal A}\qquad \exists C\in {\mathcal A}\qquad A\cup B\subseteq C,
  </math>
* <math>{\mathcal A}</math> はスカラー倍について閉じている。すなわち、次が成り立つ。
: <math>
    \forall A\in {\mathcal A}\qquad \forall\lambda\in{\mathbb F}\qquad \lambda\cdot A\in {\mathcal A}.
  </math>
このとき、次のセミノルム
:<math>
\|y\|_A=\sup_{x\in A}|\langle x,y\rangle|,\qquad A\in{\mathcal A},
</math>
は <math>Y</math> 上のハウスドルフな局所凸位相を定義する。これを、集合族 <math>{\mathcal A}</math> によって生成される <math>Y</math> 上の'''極位相'''という<ref>{{harvtxt|A.P.Robertson, W.Robertson|1964|loc=III.2}}</ref>。集合
: <math>
    U_{A}=\{x\in V:\quad \|\varphi\|_A<1\},\qquad A\in {\mathcal A}, 
  </math>
はこの位相の局所基を形成する。元のネット <math>y_i\in Y</math> がこの位相において元 <math>y\in Y</math> に収束するための必要十分条件は、次が成り立つことである。
: <math>
\forall A\in{\mathcal A}\qquad  \|y_i-y\|_A = \sup_{x\in A} |\langle x,y_i\rangle-\langle x,y\rangle|\underset{i\to\infty}{\longrightarrow}0. 
  </math>
このことにより、極位相はしばしば <math>\mathcal{A}</math> の集合上の[[一様収束]]位相と呼ばれる。セミノルム <math>\|y\|_A</math> は極集合 <math>A^\circ</math> のゲージである。

== 例 ==

* <math>\mathcal A</math> が <math>X</math> 内のすべての <math>Y</math> に関して有界な集合からなる族なら、<math>Y</math> 上の極位相は[[強位相]]と一致する。
* <math>\mathcal A</math> が <math>X</math> 内のすべての有限集合からなる族なら、<math>Y</math> 上の極位相は[[弱位相]]と一致する。
* 任意の[[局所凸空間]] <math>X</math> の位相は、双対空間 <math>X'</math> 内のすべての同程度連続な集合 <math>A\subseteq X'</math> の族 <math>\mathcal A</math> によって <math>X</math> 上定義される極位相として表現できる<ref>言い換えると、<math>A\in{\mathcal A}</math> であるための必要十分条件は、<math>A\subseteq X'</math> かつあるゼロの近傍 <math>U\subseteq X</math> が存在して <math>\sup_{x\in U, f\in A}|f(x)|<\infty</math>  が成り立つことである。</ref>。

== 関連項目 ==

* [[双対位相]]

== 注釈 ==

{{Reflist}}

== 参考文献 ==

* {{cite book
 | last1 = Robertson
 | first1 = A.P.
 | last2 = Robertson
 | first2 = W.
<!-- | authorlink = A.P.Robertson, W.Robertson -->
 | year = 1964
 | title = Topological vector spaces
 | series=
 | volume=
 | publisher = Cambridge University Press
 | location = 
 | isbn = 
}}

* {{cite book
 | last = Schaefer
 | first = Helmuth H.
<!-- | authorlink = Helmuth Schaefer -->
 | year = 1966
 | title = Topological vector spaces
 | series=
 | volume=
 | publisher = The MacMillan Company
 | location = New York
 | isbn = 0-387-98726-6
}}

{{DEFAULTSORT:きよくいそう}}
[[Category:関数解析学]]
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