極値のソースを表示

[[File:Extrema example original.svg|right|300px]]
[[数学]]の[[実解析]]において、[[実数値関数]]の'''極値'''（きょくち、{{lang-en-short|extremum}}{{efn2|複数形は不規則で {{lang|en|extrema}} になる。}}）とは、関数の局所的な[[最小値]]および局所的な[[最大値]]の総称である。関数の極値を求める問題は極値問題と呼ばれる。

== 定義 ==
{{mvar|n}} 次元[[ユークリッド空間]] {{math|('''R'''{{sup|''n''}}, ''d'')}} の[[開集合]] {{mvar|U}} 上で定義された[[実数値関数]] {{math|''f'': ''U'' &rarr; '''R'''}} をとる{{efn2|より一般に部分集合 {{mvar|E}} 上で定義された実数値関数をとり、その[[内点]] {{mvar|p}} に対してのみ極値を定義することもある。}}。
関数 {{mvar|f}} を定義域 {{mvar|U}} に属する点 {{mvar|p}} のある {{mvar|&epsilon;}} [[近傍]]に制限すると値 {{math|''f''(''p'')}} がその[[最小値]]であるとき、値 {{math|''f''(''p'')}} を関数 {{mvar|f}} の'''極小値'''（{{lang|en|local minimum}}）といい、点 {{mvar|p}} を関数 {{mvar|f}} の'''極小点'''（{{lang|en|local minimum point}}<ref name="maximum">{{SpringerEOM|urlname=Maximum_and_minimum_points|title=Maximum and minimum points}}</ref>）という。この条件は[[論理式 (数学)|論理式]]を用いると
:<math>
\exists \varepsilon > 0 [\forall q \in U [d(p, q) < \varepsilon \implies f(p) \le f(q)]]
</math>
と表せる{{efn2|値 {{mvar|m}} が関数 {{mvar|f}} の最小値であるとは値 {{mvar|m}} が[[像 (数学)|像]] {{math|''f''(''U'')}} の[[最小元]]であること、すなわち条件
:<math>
[\exists p \in U [m = f(p)]] \land [\forall q \in U [m \le f(q)]]
</math>
が成立することであった。したがって最小値は極小値である。}}。同様に関数 {{mvar|f}} を定義域 {{mvar|U}} に属する点 {{mvar|p}} のある {{mvar|&epsilon;}} 近傍に制限すると値 {{math|''f''(''p'')}} がその[[最大値]]であるとき値 {{math|''f''(''p'')}} を関数 {{mvar|f}} の'''極大値'''（{{lang|en|local maximum}}）といい、点 {{mvar|p}} を関数 {{mvar|f}} の'''極大点'''（{{lang|en|local maximum point}}<ref name="maximum" />）という。

極小値と極大値を総称して'''極値'''（{{lang|en|extremum}}）といい、極小点と極大点を総称して'''極値点'''という。

上の条件に現れる {{math|''d''(''p'', ''q'') &lt; ''&epsilon;'' &rArr; ''f''(''p'') &le; ''f''(''q'')}} を {{math|0 &lt; ''d''(''p'', ''q'') &lt; ''&epsilon;'' &rArr; ''f''(''p'') &lt; ''f''(''q'')}} へ置き換えたとき、値 {{math|''f''(''p'')}} を関数 {{mvar|f}} の'''狭義の極小値'''（{{lang|en|strict local minimum}}）という。同様に'''狭義の極大値'''（{{lang|en|strict local maximum}}）も定義される。またこれらを総称して'''狭義の極値'''という。（ただし狭義の極値を単に極値と呼ぶこともあるので、実際に用いられている定義をよく確認する必要がある。）

== 必要条件 ==
[[File:Function_x3.svg|thumb|200px|原点は関数 {{math|''x''{{sup|3}}}} の停留点ではあるが、極値点ではない。]]
{{mvar|n}} 次元[[ユークリッド空間]] {{math|'''R'''{{sup|''n''}}}} の[[開集合]] {{mvar|U}} 上で定義された[[実数値関数]] {{math|''f'': ''U'' &rarr; '''R'''}} をとり、これが[[全微分|微分可能]]であるとする。

定義域 {{mvar|U}} に属する点 {{mvar|p}} における関数 {{mvar|f}} の[[勾配 (ベクトル解析)|勾配]] 
:<math>
\nabla f(p) = \bigg[\frac{\partial f}{\partial x_1}(p), \dotsc, \frac{\partial f}{\partial x_n}(p)\bigg]
</math>
が {{math|0}} であるとき、点 {{mvar|p}} を関数 {{mvar|f}} の'''停留点'''（{{lang|en|stationary point}}）あるいは'''[[臨界点 (数学)|臨界点]]'''（{{lang|en|critical point}}）といい、値 {{math|''f''(''p'')}} を'''停留値'''（{{lang|en|stationary value}}）あるいは'''臨界値'''（{{lang|en|critical value}}）という。

点 {{mvar|p}} が関数 {{mvar|f}} の極値点であるためには、点 {{mvar|p}} が関数 {{mvar|f}} の停留点であることが[[必要]]である。

== 十分条件 ==
[[File:Parabol-el-zy-hy-s.svg|thumb|500px|原点は関数 {{math|''x''{{sup|2}} + ''y''{{sup|2}}}}, {{math|''x''{{sup|2}}}}, {{math|''x''{{sup|2}} &minus; ''y''{{sup|2}}}} すべての停留点である。関数 {{math|''x''{{sup|2}} + ''y''{{sup|2}}}} の原点におけるヘッセ行列は正の定符号であり、原点で関数 {{math|''x''{{sup|2}} + ''y''{{sup|2}}}} は狭義の極小値をとる。また関数 {{math|''x''{{sup|2}} &minus; ''y''{{sup|2}}}} の原点におけるヘッセ行列は不定符号であり、原点は関数 {{math|''x''{{sup|2}} &minus; ''y''{{sup|2}}}} の[[鞍点]]である。一方で関数 {{math|''x''{{sup|2}}}} の原点におけるヘッセ行列は特異行列であり、原点で退化している。]]
{{mvar|n}} 次元[[ユークリッド空間]] {{math|'''R'''{{sup|''n''}}}} の[[開集合]] {{mvar|U}} 上で定義された[[実数値関数]] {{math|''f'': ''U'' &rarr; '''R'''}} をとり、これが2回[[連続微分可能]]であるとする。

関数 {{mvar|f}} の停留点 {{mvar|p}} における[[ヘッセ行列]]
:<math>
\nabla^2 f(p) = \begin{bmatrix}
\frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2}(p) & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_n}(p) \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\frac{\partial^2 f}{\partial x_n\partial x_1}(p) & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2}(p)
\end{bmatrix}
</math>
が[[正定値行列|正の定符号]]（{{math|&nabla;{{sup|2}} ''f''(''p'') &gt; 0}}）であるならば関数 {{mvar|f}} は点 {{mvar|p}} において狭義の極小値をとる{{sfn|ヨスト|2000|p=142|loc=定理 9.12}}。またヘッセ行列 {{math|&nabla;{{sup|2}} ''f''(''p'')}} が負の定符号（{{math|&nabla;{{sup|2}} ''f''(''p'') &lt; 0}}）であるならば関数 {{mvar|f}} は点 {{mvar|p}} において狭義の極大値をとり、不定符号であるならば関数 {{mvar|f}} は点 {{mvar|p}} において極値をとらない（このとき点 {{mvar|p}} は関数 {{mvar|f}} の[[鞍点]]と呼ばれる）。

この方法{{efn2|この極値判定法を英語では {{lang|en|second derivative test}} と呼ぶこともある。}}により、ヘッセ行列 {{math|&nabla;{{sup|2}} ''f''(''p'')}} が[[正則行列|特異行列]]で停留点 {{mvar|p}} が退化している場合を除けば、極値判定ができる。

== 注釈 ==
{{notelist2}}

== 出典 ==
{{reflist}}

== 関連項目 ==
* [[ラグランジュの未定乗数法]]

== 参考文献 ==
* {{cite book
|和書
|title=ポストモダン解析学
|author=ユルゲン・ヨスト
|year=2000
|publisher=シュプリンガー
|isbn=978-4-431-70871-1
|ref={{sfnref|ヨスト|2000}}
}}
:書評 {{doi|10.11429/sugaku1947.54.314}}

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|urlname=Extremum|title=Extremum}}
* {{PlanetMath|urlname=extremum|title=extremum}}
* {{SpringerEOM|urlname=Extremum|title=Extremum|first=A.B.|last=Ivanov}}
* {{nlab|urlname=extremum|title=extremum}}

{{DEFAULTSORT:きよくち}}
[[Category:解析学]]
[[Category:数学に関する記事]]