極円 (幾何学)のソースを表示

[[ファイル:Polar_circle2.svg|thumb|280px|
{{Legend-line|solid #4169E1|{{math|△''ABC''}}}}
{{Legend-line|solid #82c458|[[頂垂線 (三角形)|頂垂線]] ([[垂心]]{{mvar|H}}で交わる)}}
{{Legend-line|dashed red 2px|{{math|△''ABC''}}の'''極円''' 、{{mvar|H}}を中心とする。}}
]]
[[幾何学]]において、三角形の'''極円'''（きょくえん、[[英語|英]]:polar circle）は[[垂心]]を中心とし、半径の二乗が以下の式で表される[[円 (数学)|円]]である<ref>{{MathWorld|title=Polar Circle|urlname=PolarCircle}}</ref><ref>{{Cite book |title=Modern Geometry of the Point, Straight Line, and Circle: An Elementary Treatise |url=http://archive.org/details/moderngeometryp00thirgoog |publisher=Blackwood |date=1898 |language=English |others=Harvard University |last=John Alexander Third}}</ref><ref>{{Cite book|和書 |title=Modern geometry; an elementary treatise on the geometry of the triangle and the circle, |year=1929 |publisher=Houghton Mifflin Harcourt |pages=176-181 |url=https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=wu.89043163211&seq=179}}</ref>。<math display="block"> \begin{align}
  r^2 & = \overline{HA} \times \overline{HD} = \overline{HB} \times \overline{HE} = \overline{HC} \times \overline{HF} \\[4pt]
  &= -4R^2 \cos A \cos B \cos C \\[4pt]
  &= 4R^2 - \frac{a^2+b^2+c^2}{2}
\end{align}</math>ここで{{Mvar|A, B, C}}は三角形の頂点、{{Mvar|H}}は[[頂垂線 (三角形)|垂心]] (3本の[[頂垂線 (三角形)|頂垂線]]の交点)、 {{Mvar|D, E, F}}は{{Mvar|A, B, C}}に対する垂足、{{Mvar|R}} は[[外接円]]の半径、{{Mvar|a, b, c}}は{{Mvar|A, B, C}}の対辺の長さである。

一行目の右辺は{{Mvar|A, D}}が極円で[[反転幾何学|反転]]の関係にあることを表す。二行目は半径を[[三角法]]で表したものであり、式から分かるように極円は[[鋭角三角形]]では定義できない。

== 性質 ==
[[ファイル:Polar_circle4.svg|thumb|280px|
{{Legend-line|solid #222222|{{math|△''ABC''}} とその [[外接三角形|接線三角形]]}}
{{Legend-line|solid magenta|{{math|△''ABC''}} の[[外接円]]{{mvar|e}}<br>(中心は外心 {{mvar|L}})}}
{{Legend-line|solid lime|接線三角形の外接円{{mvar|s}}<br> (中心は{{mvar|K}})}}
{{Legend-line|solid #4169E1|{{math|△''ABC''}}の[[九点円]]{{mvar|t}}<br> (中心は{{mvar|M}})}}
{{Legend-line|solid red|{{math|△''ABC''}}の'''極円'''{{mvar|d}}<br>(中心は{{mvar|H}})}}上記の円の中心はすべて [[オイラー線]]上にある。
]]
* {{仮リンク|垂心系|en|Orthocentric system}}にある4つの点からできる任意の2つの三角形のそれぞれの極円は[[直交]]する。
* 極円と第二[[ドロー・ファーニ―円]]、[[ステヴァノヴィッチ円]]は直交する。
* 三角形の外接円、九点円、極円、[[接線三角形]]の外接円、の中心は[[共線]]（[[オイラー線]]）である。
* [[ド・ロンシャン点|ド・ロンシャン円]]を[[幾何中心|重心]]を中心に-2倍拡大（2:1の反転<ref name=":0">{{Cite book|和書 |title=重心座標による幾何学 |date=9/12 |year=2014 |publisher=[[現代数学社]] |pages=30-31 |author=[[一松信]],[[畔柳和生]]}}</ref>）したものである。
* 極円の[[接円錐曲線#Polar triangle|Polar triangle]]は元の三角形である。そのため、「自己共役円」とも呼ばれる<ref name=":0" />。

== 出典 ==
{{Reflist}}

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|title=Second Droz-Farny Circle|urlname=SecondDroz-FarnyCircle}}
* {{MathWorld|title=Stevanović Circle|urlname=StevanovicCircle}}

{{デフォルトソート:きよくえん}}
[[Category:三角形]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:三角形と円に関する定理]]