極円 (幾何学)

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幾何学において、三角形の極円（きょくえん、英:polar circle）は垂心を中心とし、半径の二乗が以下の式で表される円である。$$\begin{array}{cc}{r}^2& =\overline{HA}\times \overline{HD}=\overline{HB}\times \overline{HE}=\overline{HC}\times \overline{HF}\\ & =-4R^2\cos A\cos B\cos C\\ & =4R^2-\frac{a^2+b^2+c^2}{2}\end{array}$$ここでテンプレート:Mvarは三角形の頂点、テンプレート:Mvarは垂心 (3本の頂垂線の交点)、 テンプレート:Mvarはテンプレート:Mvarに対する垂足、テンプレート:Mvar は外接円の半径、テンプレート:Mvarはテンプレート:Mvarの対辺の長さである。

一行目の右辺はテンプレート:Mvarが極円で反転の関係にあることを表す。二行目は半径を三角法で表したものであり、式から分かるように極円は鋭角三角形では定義できない。

性質

テンプレート:Legend-line テンプレート:Legend-line テンプレート:Legend-line テンプレート:Legend-line テンプレート:Legend-line上記の円の中心はすべて オイラー線上にある。

• テンプレート:仮リンクにある4つの点からできる任意の2つの三角形のそれぞれの極円は直交する。
• 極円と第二ドロー・ファーニ―円、ステヴァノヴィッチ円は直交する。
• 三角形の外接円、九点円、極円、接線三角形の外接円、の中心は共線（オイラー線）である。
• ド・ロンシャン円を重心を中心に-2倍拡大（2:1の反転）したものである。
• 極円のPolar triangleは元の三角形である。そのため、「自己共役円」とも呼ばれる。

外部リンク

• テンプレート:MathWorld
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