極限の一覧のソースを表示

{{出典の明記|date=2015年10月}}
'''極限の一覧'''は、[[解析学]]における代表的な[[関数 (数学)|関数]]の[[極限]]の一覧である。極限に関しては[[極限]]の項を参照のこと。

以下で、xは変数、a、b、cは定数である。

== 一般的な極限の性質 ==
:<math>\mbox{If }\lim_{x \to c} f(x) = L_1 \mbox{ and }\lim_{x \to c} g(x) = L_2 \mbox{ then:}</math>
::<math>\lim_{x \to c} \, [f(x) \pm g(x)] = L_1 \pm L_2</math>
::<math>\lim_{x \to c} \, [f(x)g(x)] = L_1 \times L_2</math>
::<math>\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L_1}{L_2} \qquad \mbox{ if } L_2 \ne 0</math>
::<math>\lim_{x \to c} \, f(x)^n = L_1^n \qquad \mbox{ if }n \mbox{ is a positive integer}</math>
::<math>\lim_{x \to c} \, f(x)^{1 \over n} = L_1^{1 \over n} \qquad \mbox{ if }n \mbox{ is a positive integer, and if } n \mbox{ is even, then } L_1 > 0</math>
:<math>\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)} \qquad \mbox{ if } \lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} g(x) = 0 \mbox { or } \lim_{x \to c} |g(x)| = +\infty</math> ([[ロピタルの定理]])

== 単純な関数 ==
:<math>\lim_{x \to c} a = a</math>
:<math>\lim_{x \to c} x = c</math>
:<math>\lim_{x \to c} (ax + b) = ac + b</math>
:<math>\lim_{x \to c} x^r = c^r \qquad \mbox{ if } r \mbox{ is a positive integer}</math>
:<math>\lim_{x \to +0} \frac{1}{x^r} = +\infty</math>
:<math>\lim_{x \to -0} \frac{1}{x^r} = \left\{ \begin{matrix} -\infty, & \mbox{if } r \mbox{ is odd} \\ +\infty, & \mbox{if } r \mbox{ is even}\end{matrix} \right.</math>

== 対数関数と指数関数 ==
:<math>\lim_{x \to +0} \log_a x = \begin{cases} -\infty, & a > 1 \\ \infty, & a < 1 \end{cases}</math>
:<math>\lim_{x \to -\infty} a^x = 0 \qquad \mbox{ if } a > 1</math>

== 三角関数 ==
:<math>\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1</math>
:<math>\lim_{x \to a} \sin x = \sin a</math>
:<math>\lim_{x \to a} \cos x = \cos a</math>
:<math>\lim_{x \to n\pm 0} \tan \left(\pi x + \frac{\pi}{2}\right) = \mp\infty \qquad \mbox{ for any integer } n</math>

== その他の諸関数 ==
<math>\lim_{x\to\infty}\frac{N}{x}=0 \mbox{ for any real number } N </math><br>
<math>\lim_{x\to\infty}\frac{x}{N}=\begin{cases} \infty, & N > 0 \\ \mbox{does not exist}, & N = 0 \\ -\infty, & N < 0 \end{cases}</math><br>
<math>\lim_{x\to\infty}x^N=\begin{cases} \infty, & N > 0 \\ 1, & N = 0 \\ 0, & N < 0 \end{cases}</math> <br>
<math>\lim_{x\to\infty}N^x=\begin{cases} \infty, & N > 1 \\ 1, & N = 1 \\ 0, & N < 1 \end{cases}</math> <br>
<math>\lim_{x\to\infty}N^{-x}=\lim_{x\to\infty}1/N^{x}=0 \mbox{ for any } N > 1</math> <br>
<math>\lim_{x\to\infty}\sqrt[x]{N}=\begin{cases} 1, & N > 0 \\ 0, & N = 0 \\ \mbox{does not exist}, & N < 0 \end{cases}</math> <br>
<math>\lim_{x\to\infty}\sqrt[N]{x}=\infty \mbox{ for any positive integer } N</math> <br>
<math>\lim_{x\to\infty}\log x=\infty</math> <br>
<math>\lim_{x\to+0}\log x=-\infty</math>

== 備考 ==
上記に使われた用語の和訳を以下に示す。
*positive - 正の
*integer - 整数
*even - 偶数の
*odd - 奇数の
*any - 任意の
*real - 実数の
*does not exist - 存在せず

== 関連項目 ==
* [[極限]]

{{DEFAULTSORT:きよくけんのいちらん}}
[[Category:解析学]]
[[Category:極限 (数学)|*]]
[[Category:数学の一覧]]
[[Category:数学に関する記事]]