極限の一覧

テンプレート:出典の明記 極限の一覧は、解析学における代表的な関数の極限の一覧である。極限に関しては極限の項を参照のこと。

以下で、xは変数、a、b、cは定数である。

一般的な極限の性質

$\text{If }\underset{x\to c}{\lim }f(x)=L_1\text{ and }\underset{x\to c}{\lim }g(x)=L_2\text{ then:}$

$\underset{x\to c}{\lim }[f(x)\pm g(x)]=L_1\pm L_2$

$\underset{x\to c}{\lim }[f(x)g(x)]=L_1\times L_2$

$\underset{x\to c}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L_1}{L_2}\text{ if }{L}_2\ne 0$

$\underset{x\to c}{\lim }f(x{)}^n=L_1^n\text{ if }n\text{ is a positive integer}$

$\underset{x\to c}{\lim }f(x{)}^{\frac{1}{n}}=L_1^{\frac{1}{n}}\text{ if }n\text{ is a positive integer, and if }n\text{ is even, then }{L}_1>0$

$\underset{x\to c}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to c}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}\text{ if }\underset{x\to c}{\lim }f(x)=\underset{x\to c}{\lim }g(x)=0\text{ or }\underset{x\to c}{\lim }|g(x)|=+\mathrm{\infty }$ (ロピタルの定理)

単純な関数

$\underset{x\to c}{\lim }a=a$

$\underset{x\to c}{\lim }x=c$

$\underset{x\to c}{\lim }(ax+b)=ac+b$

$\underset{x\to c}{\lim }{x}^r=c^r\text{ if }r\text{ is a positive integer}$

$\underset{x\to +0}{\lim }\frac{1}{x^r}=+\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to -0}{\lim }\frac{1}{x^r}=\{\begin{array}{cc}-\mathrm{\infty },& \text{if }r\text{ is odd}\\ +\mathrm{\infty },& \text{if }r\text{ is even}\end{array}$

対数関数と指数関数

$\underset{x\to +0}{\lim }{\log }_{a}x=\{\begin{array}{cc}-\mathrm{\infty },& a>1\\ \mathrm{\infty },& a<1\end{array}$

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{a}^x=0\text{ if }a>1$

三角関数

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$

$\underset{x\to a}{\lim }\sin x=\sin a$

$\underset{x\to a}{\lim }\cos x=\cos a$

$\underset{x\to n\pm 0}{\lim }\tan (\pi x+\frac{\pi }{2})=\mp \mathrm{\infty }\text{ for any integer }n$

その他の諸関数

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{N}{x}=0\text{ for any real number }N$
$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x}{N}=\{\begin{array}{cc}\mathrm{\infty },& N>0\\ \text{does not exist},& N=0\\ -\mathrm{\infty },& N<0\end{array}$
$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}^N=\{\begin{array}{cc}\mathrm{\infty },& N>0\\ 1,& N=0\\ 0,& N<0\end{array}$
$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{N}^x=\{\begin{array}{cc}\mathrm{\infty },& N>1\\ 1,& N=1\\ 0,& N<1\end{array}$
$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{N}^{-x}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }1/N^x=0\text{ for any }N>1$
$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[x]{N}=\{\begin{array}{cc}1,& N>0\\ 0,& N=0\\ \text{does not exist},& N<0\end{array}$
$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[N]{x}=\mathrm{\infty }\text{ for any positive integer }N$
$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\log x=\mathrm{\infty }$
$\underset{x\to +0}{\lim }\log x=-\mathrm{\infty }$

備考

上記に使われた用語の和訳を以下に示す。

• positive - 正の
• integer - 整数
• even - 偶数の
• odd - 奇数の
• any - 任意の
• real - 実数の
• does not exist - 存在せず

関連項目

• 極限