次世代行列のソースを表示

[[疫学]]において、'''次世代行列'''（じせだいぎょうれつ、{{lang-en-short|next-generation matrix}}）は、[[感染症]]の流行に関する[[疫学における区画モデル|区画モデル]]の[[基本再生産数]]を得るのに用いられる。[[個体群動態論|個体群動態]]においては、構造化個体群モデルの基本再生産数を計算するのに用いられる<ref>{{Citation
|last=Zhao
|first=Xiao-Qiang
|title=The Theory of Basic Reproduction Ratios
|date=2017
|work=Dynamical Systems in Population Biology
|pages=285–315
|publisher=Springer International Publishing
|doi=10.1007/978-3-319-56433-3_11
|isbn=978-3-319-56432-6
|access-date=2020-03-04
}}</ref>。マルチタイプの分岐過程でも、同様の計算に用いられる<ref>{{Cite book
|last=Mode
|first=Charles J.
|title=Multitype Branching Processes: Theory and Applications
|date=1971
|publisher=American Elsevier Pub. Co
|isbn=0-444-00086-0
|location=New York
|oclc=120182
}}</ref>。

次世代行列を用いて基本再生産数を計算する方法はDiekmann ''et al''. (1990)<ref>{{Cite journal
|doi=10.1007/BF00178324
|title=On the definition and the computation of the basic reproduction ratio {{math|''R''<sub>0</sub>}} in models for infectious diseases in heterogeneous populations
|journal=Journal of Mathematical Biology
|volume=28
|issue=4
|pages=365–382
|year=1990
|last1=Diekmann 
|first1=O.
|last2=Heesterbeek 
|first2=J. A. P.
|last3=Metz 
|first3=J. A. J. 
|pmid=2117040
|hdl=1874/8051
|hdl-access=free
}}</ref> と van den Driessche and Watmough (2002)<ref>{{Cite journal 
|doi=10.1016/S0025-5564(02)00108-6
|pmid=12387915
|title=Reproduction numbers and sub-threshold endemic equilibria for compartmental models of disease transmission
|journal=Mathematical Biosciences
|volume=180
|issue=1–2
|pages=29–48
|year=2002
|last1=van den Driessche
|first1=P.
|last2=Watmough
|first2=J.
}}</ref>によって与えられた。次世代行列を用いて基本再生産数を計算するために、集団全体を {{mvar|n}} 個の区画に分割し、はじめの {{mvar|m}} 個を感染集団の区画とする。時刻 {{mvar|t}} における区画の個体数を <math> x = (x_1, \dotsc, x_n)^T </math> とおき、流行モデル
:<math> \frac{dx_i}{dt} = \mathcal F_i(x) - \mathcal V_i(x) \qquad (\mathcal V_i(x) = \mathcal V_i^-(x) - \mathcal V_i^+(x)) </math>
を考える。ここで <math>\mathcal F_i(x)</math> は {{mvar|i}} 番目の区画における新規感染の発生率を表しており、<math>\mathcal V_i^+(x)</math> は他のコンパートメントから {{mvar|i}} 番目の区画への遷移率を、<math>\mathcal V_i^-(x)</math> は {{mvar|i}} 番目の区画から他の区画への遷移率を表している。このとき
:<math>
\mathcal F(x) = (\mathcal F_1(x), \dotsc, \mathcal F_n(x))^T,
\qquad
\mathcal V(x) = (\mathcal V_1(x), \dotsc, \mathcal V_n(x))^T
</math>
とおけば、上のモデルは
:<math> \frac{dx}{dt} = \mathcal F(x) - \mathcal V(x)</math>
と書くこともできる。いま {{math|''x''{{sub|0}}}} を感染症のない[[定常状態]]とする。このとき <math>\mathcal F(x)</math> と <math>\mathcal V(x)</math> の[[ヤコビ行列]]は {{math|''x''{{sub|0}}}} において
:<math>
D\mathcal F(x_0) = \begin{bmatrix} F & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix},
\quad
D\mathcal V(x_0) = \begin{bmatrix} V & 0 \\ J_3 & J_4 \end{bmatrix}
</math>
となる。ここで {{mvar|F}} と {{mvar|V}} は
:<math>
F = \begin{bmatrix} \frac{\partial \mathcal F_i}{\partial x_j}(x_0) \end{bmatrix}_{1 \le i,\,j \le m},
\quad
V = \begin{bmatrix} \frac{\partial \mathcal V_i}{\partial x_j}(x_0) \end{bmatrix}_{1 \le i,\,j \le m}
</math>
で定義される {{mvar|m}} 次正方行列である。このとき {{math|''K'' {{=}} ''FV'' {{sup|&minus;1}}}} は次世代行列と呼ばれる。その最大[[固有値]]、すなわち[[スペクトル半径]] {{math|{{mathcal|''R''}}{{sub|0}} {{=}} ''&rho;''(''K'')}} がこのモデルの[[基本再生産数]]である。

== 脚注 ==
{{reflist}}

== 参考文献 ==
* {{cite book
|first=Zhien 
|last=Ma 
|first2=Jia 
|last2=Li 
|title=Dynamical Modeling and Analysis of Epidemics 
|publisher=World Scientific 
|year=2009 
|isbn=978-981-279-749-0 
|oclc=225820441
}}
* {{cite book 
|first=O. 
|last=Diekmann 
|first2=J. A. P. 
|last2=Heesterbeek 
|title=Mathematical Epidemiology of Infectious Disease 
|publisher=John Wiley & Son 
|year=2000 
|isbn=0-471-98682-8
}}
* {{cite journal 
|first=J. M.
|last=Hefferenan 
|first2=R. J.
|last2=Smith
|first3=L. M.
|last3=Wahl
|title=Prospective on the basic reproductive ratio 
|journal=J. R. Soc. Interface 
|year=2005
|volume=2
|issue=4
|pages=281–293
|doi=10.1098/rsif.2005.0042
|pmid=16849186 
|pmc=1578275 
}}

== 関連項目 ==
* [[疫学における区画モデル]]

{{デフォルトソート:しせたいきようれつ}}

[[Category:行列]]
[[Category:疫学]]
[[Category:数学に関する記事]]