次世代行列

疫学において、次世代行列（じせだいぎょうれつ、テンプレート:Lang-en-short）は、感染症の流行に関する区画モデルの基本再生産数を得るのに用いられる。個体群動態においては、構造化個体群モデルの基本再生産数を計算するのに用いられる。マルチタイプの分岐過程でも、同様の計算に用いられる。

次世代行列を用いて基本再生産数を計算する方法はDiekmann et al. (1990) と van den Driessche and Watmough (2002)によって与えられた。次世代行列を用いて基本再生産数を計算するために、集団全体を テンプレート:Mvar 個の区画に分割し、はじめの テンプレート:Mvar 個を感染集団の区画とする。時刻 テンプレート:Mvar における区画の個体数を $x=(x_1,\dots ,x_n{)}^T$ とおき、流行モデル

$\frac{d{x}_i}{dt}={ℱ}_i(x)-{𝒱}_i(x)({𝒱}_i(x)={𝒱}_i^{-}(x)-{𝒱}_i^{+}(x))$

を考える。ここで ${ℱ}_i(x)$ は テンプレート:Mvar 番目の区画における新規感染の発生率を表しており、${𝒱}_i^{+}(x)$ は他のコンパートメントから テンプレート:Mvar 番目の区画への遷移率を、${𝒱}_i^{-}(x)$ は テンプレート:Mvar 番目の区画から他の区画への遷移率を表している。このとき

$ℱ(x)=({ℱ}_1(x),\dots ,{ℱ}_n(x){)}^T,𝒱(x)=({𝒱}_1(x),\dots ,{𝒱}_n(x){)}^T$

とおけば、上のモデルは

$\frac{dx}{dt}=ℱ(x)-𝒱(x)$

と書くこともできる。いま テンプレート:Math を感染症のない定常状態とする。このとき $ℱ(x)$ と $𝒱(x)$ のヤコビ行列は テンプレート:Math において

$Dℱ(x_0)=\left[\begin{array}{cc}F& 0\\ 0& 0\end{array}\right],D𝒱(x_0)=\left[\begin{array}{cc}V& 0\\ J_3& J_4\end{array}\right]$

となる。ここで テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar は

$F={\left[\begin{array}{c}\frac{\partial {ℱ}_i}{\partial x_j}(x_0)\end{array}\right]}_{1\le i,j\le m},V={\left[\begin{array}{c}\frac{\partial {𝒱}_i}{\partial x_j}(x_0)\end{array}\right]}_{1\le i,j\le m}$

で定義される テンプレート:Mvar 次正方行列である。このとき テンプレート:Math は次世代行列と呼ばれる。その最大固有値、すなわちスペクトル半径 テンプレート:Math がこのモデルの基本再生産数である。

参考文献

• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite journal

関連項目

• 疫学における区画モデル