次元 (ベクトル空間)のソースを表示

[[数学]]における、[[ベクトル空間]]の'''次元'''（じげん、{{lang-en-short|''dimension''}}）とは、その[[基底 (線型代数学)|基底]]の[[濃度 (数学)|濃度]]、すなわち基底に属するベクトルの個数である。 他の種類の次元（たとえば[[ヒルベルト空間#ヒルベルト次元|ヒルベルト次元]]）との区別のため、'''ハメル次元'''または'''代数次元'''と呼ばれることもある。この定義は「任意のベクトル空間は（[[選択公理]]を仮定すれば）基底を持つ」ことと「一つのベクトル空間の基底は、どの二つも必ず同じ濃度を持つ」という二つの事実に依存しており、これらの事実の結果として、ベクトル空間の次元は空間に対して一意的に定まる。[[可換体|体]] {{mvar|F}} 上のベクトル空間 {{mvar|V}} の次元を {{math|dim<sub>''F''</sub>(''V'')}} あるいは {{math|[''V'' : ''F'']}} で表す（文脈から基礎とする体 {{mvar|F}} が明らかならば単に {{math|dim(''V'')}} と書く）。

ベクトル空間 {{mvar|V}} が'''有限次元'''であるとは、その次元が有限値であるときにいう。

== 例 ==
ベクトル空間 {{math|'''R'''<sup>3</sup>}} は
:<math>\left \{  \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}  , \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right \}</math>
を[[基底 (線型代数学)|基底]]に持ち、従って {{math|dim<sub>'''R'''</sub>('''R'''<sup>3</sup>) {{=}} 3}} が成り立つ。より一般に、{{math|dim<sub>'''R'''</sub>('''R'''<sup>''n''</sup>) {{=}} ''n''}} が成り立ち、さらに一般に、任意の[[可換体|体]] {{mvar|F}} に対して {{math|dim<sub>''F''</sub>(''F''<sup>''n''</sup>) {{=}} ''n''}} が成り立つ。

[[複素数]]の全体 {{mathbf|C}} は実ベクトル空間でも複素ベクトル空間でもあるが、それぞれの場合について {{math|dim<sub>'''R'''</sub>('''C''') {{=}} 2}} および {{math|dim<sub>'''C'''</sub>('''C''') {{=}} 1}} が成り立つ。従って、次元の値は基礎とする体の取り方に依存するものである。

次元が {{math|0}} のベクトル空間は、零ベクトルのみからなるベクトル空間 {{math|{{mset|'''0'''}}}} のみである。

== いくつかの事実について ==
ベクトル空間 {{mvar|V}} の[[部分線型空間]] {{mvar|W}} に対して {{math|dim(''W'') ≤ dim(''V'')}} が成り立つ。

二つの有限次元ベクトル空間が等しいことを示すのに、次の判定規準が利用できる。
: {{mvar|V}} が有限次元ベクトル空間で {{mvar|W}} が {{mvar|V}} の部分線型空間とするとき、{{math|dim(''W'') {{=}} dim(''V'')}} ならば {{math|''W'' {{=}} ''V''}} が成り立つ。

{{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} は標準的な基底 {{math|{{mset|'''e'''<sub>1</sub>, ..., '''e'''<sub>''n''</sub>}}}} を持つ。ただし {{math|'''e'''<sub>''i''</sub>}} は[[単位行列]]の第 {{mvar|i}}-列に対応する。従って {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} の次元は {{mvar|n}} である。

体 {{mvar|F}} 上の任意の二つのベクトル空間は、その次元が等しいならば互いに[[線型同型|同型]]である。それらの基底の間の任意の[[全単射]]はベクトル空間の間の全単射な線型写像に一意的に拡張することができる。集合 {{mvar|B}} が与えられたとき、{{mvar|F}} 上の次元が {{math|{{abs|''B''}}}} （{{mvar|B}} の濃度）であるようなベクトル空間を、次のように作ることができる。写像 {{math|''f'': ''B'' → ''F''}} で、[[ほとんど (数学)|有限個の例外を除く]] {{mvar|B}} の各元 {{mvar|b}} に対して {{math|''f''(''b'') {{=}} 0}} となるようなものの全体 {{math|''F''<sup>(''B'')</sup>}} を取り、元ごとの和とスカラー倍によってこれらの写像の間の加法と {{mvar|F}} の元によるスカラー乗法を定めれば、それが初期の {{mvar|F}}-ベクトル空間である。

次元についての重要な結果として、[[線型写像]]に対する[[階数・退化次数定理]]が挙げられる。

{{math|''F''/''K''}} を[[体の拡大]]とすると、拡大体 {{mvar|F}} は特に部分体 {{mvar|K}} 上のベクトル空間の構造を持つ。さらに、任意の {{mvar|F}}-ベクトル空間 {{mvar|V}} は {{mvar|K}}-ベクトル空間と見ることもできる。これらのベクトル空間の次元は
: {{math|dim<sub>''K''</sub>(''V'') {{=}} dim<sub>''K''</sub>(''F'') dim<sub>''F''</sub>(''V'')}}
なる関係によって結ばれている。特に任意の {{mvar|n}}-次元複素ベクトル空間は実ベクトル空間として次元 {{math|2''n''}} を持つ。

ベクトル空間の次元について、基底の濃度および空間自身の濃度に関するいくつか簡単な公式が知られている。{{mvar|V}} を体 {{mvar|F}} 上のベクトル空間とし、その次元を {{math|dim&thinsp;''V''}} で表すと
* {{math|dim&thinsp;''V''}} が有限ならば {{math|{{abs|''V''}} {{=}} {{abs|''F''}}<sup>dim''V''</sup>}}
* {{math|dim&thinsp;''V''}} が無限ならば {{math|{{abs|''V''}} {{=}} max({{abs|''F''}}, dim&thinsp;''V'')}}
などが成立する。

== 一般化 ==
ベクトル空間を[[マトロイド]]の特別の場合とみることができて、後者にたいして次元の概念を矛盾なく定義することができる。[[加群の長さ]]および[[アーベル群のランク]]は、いずれもベクトル空間の次元と同様のさまざまな性質をもつ。

[[ヴォルフガンク・クルル]] (1899&ndash;1971) に由来する、[[可換環]]の[[クルル次元]]は、環の[[素イデアル]]の昇列における真の包含関係の個数のうち最大のものとして定義される。

=== トレースによる特徴づけ ===
{{see also|跡 (線型代数学)}}
ベクトル空間の次元は、その[[恒等作用素]]の[[跡 (線型代数学)|トレース]]として特徴付けることもできる。例えば、
: <math>\operatorname{tr}\operatorname{id}_{\mathbf{R}^2} = \operatorname{tr} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 1 + 1 = 2</math>
はトレースの定義から明らかだが、一般化には有用である。

まず、これにより自然な意味での基底をもたないがトレースが定義できると言う場合にも次元の概念を定義することができるようになる。例えば代数 {{mvar|A}} が[[単位射]] {{math|''&eta;'': ''K'' &rarr; ''A''}} および[[余単位射]] {{math|''&epsilon;'': ''A'' &rarr; ''K''}} を持つならば、合成射 {{math|''&epsilon;'' ∘ ''&eta;'': ''K'' &rarr; ''K''}} は「恒等変換のトレース」に対応するスカラー（一次元空間上の線型作用素）であり、これによって抽象代数に対する次元の概念を考えることができる。実用上は、[[双代数]]について（余単位射を次元で割った {{math|''&epsilon;'' ≔ (1/''n'')tr}} に正規化して）この合成射が恒等変換となることを要求することがある。この場合には正規化定数が次元に対応することになる。

また、無限次元空間上の作用素のトレースを定義することもできる。この場合、（有限な）次元が存在しなくても（有限次の）トレースを定義して、「作用素の次元」の概念を考えることができる。これらは、[[ヒルベルト空間]]上の「[[トレースクラス]]作用素」やもっと一般の[[バナッハ空間]]上の[[核作用素]]の考え方に該当する。

もう少し一般化して、作用素の族のトレースを「捻られた」時限の一種と考えることもできる。これは[[表現論]]において顕著に現れる。表現論における表現の[[指標 (数学)|指標]]とは表現のトレースのことであるから、[[群 (数学)|群]] {{mvar|G}} 上のスカラー値函数 {{math|''&chi;'': ''G'' &rarr; ''K''}} の単位元 {{math|1 &isin; ''G''}} における値 {{math|''&chi;''(1)}} が表現の次元ということになる。これは表現によって単位元が写される先が単位行列であること、すなわち
: <math>\chi(1_G) = \operatorname{tr}I_V = \dim V</math>
が成立することによる。そこで指標の他の値 {{math|''&chi;''(''g'')}} を「捻られた」次元と考えることができて、次元に関する主張に対して、「次元」を指標や表現で置き換えたアナロジーや一般化を得ることができる。このようなものは[[モンスター群]]の[[モンストラス・ムーンシャイン|ムーンシャイン現象]]の理論において生じる。[[j不変量|{{mvar|j}}-不変量]]は[[モンスター群]]の無限次元次数つき表現の[[次数付きベクトル空間|次数つき次元]]であるが、次元を指標に取り替えることによりモンスター群の各元に対して[[マッケイ＝トンプソン級数]]が与えられる<ref>{{Harv|Gannon|2006}}</ref>。

== 関連項目 ==
* [[基底 (線型代数学)|基底]]
* [[位相次元]]（ルベーグ被覆次元）
* [[フラクタル次元]]（ハウスドルフ次元）
* [[クルル次元]]

== 参考文献 ==
{{reflist}}
{{refbegin}}
*{{Citation | first = Terry | last = Gannon | title = Moonshine beyond the Monster: The Bridge Connecting Algebra, Modular Forms and Physics | year = 2006 | isbn = 0-521-83531-3}}
{{refend}}

== 外部リンク ==
* [http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2010/video-lectures/lecture-9-independence-basis-and-dimension/ MIT Linear Algebra Lecture on Independence, Basis, and Dimension by Gilbert Strang] at MIT OpenCourseWare

{{DEFAULTSORT:はめるしけん}}
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