次数付き対称代数のソースを表示

[[代数学]]において与えられた[[可換環]] {{mvar|R}} 上の[[次数付き加群]] {{mvar|M}} の'''次数付き対称代数'''（じすうつきたいしょうだいすう、{{lang-en-short|''graded-symmetric algebra''}}）は {{mvar|M}} の[[テンソル代数]] {{math|''T''(''M'')}} のある[[イデアル]] {{mvar|I}} による次数付き商代数を言う。ここに、そのイデアル {{mvar|I}} は、{{mvar|x, y}} を {{mvar|M}} のそれぞれ次数 {{math|{{abs|''x''}}, {{abs|''y''}}}} の斉次元とするとき、
*<math>xy - (-1)^{|x||y|}yx</math>{{efn|注: {{math|&minus;1}} の右肩は次数モノイドにおける積という意味であり、自然数で次数付けするもっとも典型的な場合では次数の足し算をする}}
および
* {{math|{{abs|''x''}}}} が奇数のときは {{math|''x''{{exp|2}}}}
なる形に書ける元すべてによって生成されるものとする。作り方から、次数付き対称代数は、[[次数付き可換環]]&mdash;すなわち<math display="inline">xy = (-1)^{|x||y|} yx</math> を満たす&mdash;であり、また次数付き可換環の中でもっとも一般（普遍）なものである。

次数付き対称代数という名称にも拘らず、この概念は[[対称代数]]および[[外積代数]]を共に一般化するものになっている。実際、{{mvar|V}} を（次数付きでない）{{mvar|R}}-加群とすれば、自明な次数付けを持つ {{mvar|V}} の次数付き対称代数は通常の対称代数であり、同様に一次の項が {{mvar|V}} でそれ以外の項が[[自明群|零加群]] {{math|{{mset|0}}}} となるような次数付き加群の次数付き対称代数は {{mvar|V}} の外積代数になる。

== 注 ==
=== 注釈 ===
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=== 出典 ===
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== 参考文献 ==
* [[David Eisenbud]], ''Commutative Algebra. With a view toward algebraic geometry'', [[Graduate Texts in Mathematics]], vol 150, [[Springer-Verlag]], New York, 1995.  {{ISBN2|0-387-94268-8}}

== 外部リンク ==
* {{Cite web|url=http://mathoverflow.net/questions/7080/definition-of-the-symmetric-algebra-in-arbitrary-characteristic-for-graded-vecto |title=rt.representation theory - Definition of the symmetric algebra in arbitrary characteristic for graded vector spaces |publisher=MathOverflow |date= |accessdate=2017-04-18}}

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{{DEFAULTSORT:しすうつきたいしようたいすう}}
[[Category:環論]]
[[Category:数学に関する記事]]