正二十面体のソースを表示

{{Infobox Polyhedron with net
| Image_File=Icosahedron.jpg
| Animation_File=Icosahedron.gif
| Polyhedron_Type=[[正多面体]]、[[デルタ多面体]]、[[二十面体]]
| Face_List=20枚の[[正三角形]]
| Edge_Count=30
| Vertex_Count=12
| Vertex_List=3<sup>5</sup>
| Vertex_Image_File=Icosahedron_vertfig.png
| wythoff=5 &#124; 2 3
| schlafli={3, 5}
| symmetry=I<sub>h</sub>
| dual=[[正十二面体]]
| Property_List=[[凸集合]]
| Net_Image_File=Icosahedron_flat.svg
}}

'''正二十面体'''（せいにじゅうめんたい、{{lang-en-short|regular [[倍数接頭辞|icosa]]<nowiki/>hedron}}）は[[立体]]の名称の1つ。[[空間]]を[[正三角形]]20枚で囲んだ[[凸多面体]]。[[3次元]]空間で最大の面数を持つ[[正多面体]]である。

正多面体のひとつである[[正十二面体]]の頂点周りを面の中心まで[[切頂十二面体|切頂]]することによって得られる（双対関係）。

また、正六面体や正十二面体に対する[[変形立方体|捩じり切り]]操作と同様の操作を正四面体に対して行うことでも得られる<ref>{{Cite book|title=正多面体を解く|date=2002/5/20|year=|publisher=東海大学出版会}}</ref>。

== 性質 ==
[[画像:20-sided_dice_250.jpg|thumb|正二十面体[[サイコロ]]]]
* [[反角柱|正反五角柱]]の両底面に[[角錐|正五角錐]]を貼り付けた形である。よって、正二十面体を'''双五角錐反柱''' ({{Interlang|en|Gyroelongated bipyramid|Gyroelongated pentagonal bipyramid}}) と呼ぶ場合がある。
* 向かい合う面は[[平行]]である。
* [[展開図]]の数は43,380種類。
* 面の数は20、辺の数は30、頂点の数は12。
* 頂点形状は[[正五角形]]であり、5本の辺と5枚の正三角形が集まる。
* [[正十二面体]]と[[双対多面体|双対]]である。

== 計量 ==
一辺の長さをaとすると、
{|class="wikitable"
|面の[[面積]]
|<math> A={1\over4}\sqrt3a^2</math>
|-
|[[表面積]]
|<math> S=20A=5\sqrt3a^2</math>
|-
|[[体積]]
|<math> V=\frac{1}{3}Sr={15+5\sqrt{5}\over12}a^3</math>
|-
|最長[[対角線]]の長さ
|<math> d={\sqrt{10 +2\sqrt{5}}\over2}a</math>
|-
|[[外接球]]半径
|<math> R=\frac{d}{2}={\sqrt{10 +2\sqrt{5}}\over4}a</math>
|-
|[[内接球]]半径
|<math> r={3\sqrt{3}+\sqrt{15}\over12}a</math>
|}

== 頂点、辺、面の座標 ==
以下は、標準的な座標の取り方の一つである。ここで <math>\varphi</math> は[[黄金比]] <math>\frac{1+\sqrt5}2</math> 、
<math>\epsilon_1, \epsilon_2, \epsilon_3=\pm 1</math> である。
; 12個の頂点（原点からの距離 <math>\sqrt{\varphi+2}</math>）の座標
* <math>(0, \epsilon_2,  \epsilon_3 \varphi)</math>  のxyz座標を偶置換した 12個
; 30個の辺（長さ<math>2</math>）の、両端点および中心の座標
* 両端点 <math>(0, \epsilon_2, \epsilon_3 \varphi)</math>と<math>(\epsilon_1, \epsilon_2 \varphi, 0)</math>、中心 <math>\frac12(\epsilon_1, \epsilon_2 \varphi^2, \epsilon_3 \varphi)</math> のxyz座標を偶置換した 24個
* 両端点 <math>(0, 1, \epsilon_3\varphi)</math>と<math>(0, -1, \epsilon_3\varphi)</math>、中心<math>(0, 0, \epsilon_3\varphi)</math> のxyz座標を偶置換した 6個
; 20個の面の、外側から見て反時計回りの頂点列および中心の座標
* 頂点 <math>(0,\epsilon_2, \epsilon_1\epsilon_2 \varphi), (\epsilon_1 \varphi, 0,\epsilon_1\epsilon_2 ), (\epsilon_1, \epsilon_2 \varphi, 0)</math> の4個 
* 頂点 <math>(0,\epsilon_2, -\epsilon_1\epsilon_2 \varphi), (\epsilon_1, \epsilon_2 \varphi, 0), (\epsilon_1 \varphi, 0,-\epsilon_1\epsilon_2 )</math> の4個 
* 頂点 <math>(0, \epsilon_2, \epsilon_3\varphi)</math>, <math>(0,-\epsilon_2, \epsilon_3\varphi)</math>, <math>(\epsilon_2 \epsilon_3\varphi, 0, \epsilon_3)</math> のxyz座標を偶置換した 12個

== 対称性 ==
[[File:Sphere symmetry group ih.png|thumb|全{{仮リンク|正二十面体的対称性|en|icosahedral symmetry}}には（この球面で水色の[[大円]]として見えている）15枚の鏡映平面があり、それらはπ/5、π/3、π/2の角度で会し、球面を120の三角形の{{仮リンク|基本領域|en|fundamental domain}}（黄）に分かつ。また、6本の5回回転軸（英: 5-fold axes）（青）、10本の3回回転軸（赤）、15本の2回回転軸（赤紫）がある。正二十面体の頂点は5回回転軸上の点に存在する。]]
{{main |en:Icosahedral symmetry}}
正二十面体の回転{{仮リンク|対称性の群|en|Symmetry group}} <math>I</math> は5文字の[[交代群]] <math>A_5</math> に[[同型写像|同型]]である。位数は60。この非[[アーベル群|可換]][[単純群]]は5文字の[[対称群]] <math>S_5</math> の唯一の非自明な[[正規部分群]]である。一般の[[五次方程式]]の[[ガロア群]]は5文字の対称群に同型であり、そしてこの正規部分群が単純で非可換なので、一般の五次方程式は冪根による解を有しない。[[アーベル-ルフィニの定理|アーベル‐ルフィニの定理]]の証明はこの単純な事実を用いる。そして[[フェリックス・クライン]]は{{仮リンク|正二十面体的対称性|en|icosahedral symmetry}}の理論を利用して一般の五次方程式の解析的解法を導く本を書いた {{Harv|Klein|1888}}。詳しい歴史ならびに関係する7文字と11文字の対称性については{{仮リンク|正二十面体的対称性#関連する幾何学的性質|en|icosahedral symmetry#related geometries}}を見よ。

（鏡映を含めた）正二十面体の全て(full)の対称性の群は{{訳語疑問点範囲|{{仮リンク|正二十面体的対称性#群の構造|en|icosahedral symmetry#group structure|label=全正二十面体群}}|date=2024年4月}} <math>I_h</math> として知られる。位数は120。そしてこれは回転対称群と、正二十面体の中心を通る鏡映によって生成されるサイズ2の群 <math>C_2</math> との直積 <math>A_5\times C_2</math> に同型である。

また、双対図形である正十二面体の回転の群ならびに対称性の群は、どちらも正二十面体のそれと全く等しい。

== この図形を枠に持つ立体 ==
正二十面体を[[枠 (多面体)|枠]]に持つのは次の立体である。
{| class=wikitable width=400
|- align=center
| [[Image:Great dodecahedron.png|200px]]<br />[[大十二面体]]
| [[Image:Small stellated dodecahedron.png|200px]]<br />[[小星型十二面体]]
| [[Image:Great icosahedron.png|200px]]<br />[[大二十面体]]
|}

== 派生的な立体 ==
{| class=wikitable width=400
|- align=center valign=top
| [[Image:Truncatedicosahedron.jpg|150px]]<br />[[切頂二十面体]]<br />t{5, 3}
| [[Image:icosidodecahedron.jpg|150px]]<br />[[二十・十二面体]]<br />r{5, 3} = r{3, 5}
| [[Image:Triakisicosahedron.jpg|150px]]<br />[[三方二十面体]]
| [[Image:Dual_compound_20_max.png|150px]]<br />正十二面体と正二十面体による[[複合多面体]]
|}

== 近縁となるジョンソンの立体 ==
正二十面体と近縁となる[[ジョンソンの立体]]は次の通りである。
{| class=wikitable width=400
|- align=center valign=top
| [[Image:Gyroelongated_pentagonal_pyramid.png|150px]]<br />[[正五角錐反柱]]
| [[Image:Elongated_pentagonal_dipyramid.png|150px]]<br />[[双五角錐柱]]
| [[Image:Pentagonal_dipyramid.png|150px]]<br />[[双五角錐]]
|- align=center valign=top
| [[Image:Gyroelongated_square_dipyramid.png|150px]]<br />[[双四角錐反柱]]
| [[Image:Metabidiminished_icosahedron.png|150px]]<br />[[二側錐欠損二十面体]]
| [[Image:Tridiminished_icosahedron.png|150px]]<br />[[三側錐欠損二十面体]]
|}

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
* {{citation  |first =Klein |last =Felix |authorlink =フェリックス・クライン |language=de|title =Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade |site =Leipzig |publisher =Teubner |url=https://archive.org/details/vorlesungenber00kleiuoft |year =1884}}
** {{citation |last =Klein |first =Felix |language=en|title = Lectrues on the ikosahedron and the solution of equations of the fifth degree |date=2003-02-20| origyear =1888 |url =http://digital.library.cornell.edu/cgi/t/text/text-idx?c=math;cc=math;view=toc;subview=short;idno=03070001 |edition =Dover Phoenix |publisher=Dover Publications|isbn=978-0-486-49528-6}} - 英訳。
** {{cite book|和書 |translator=[[関口次郎]] |title =正20面体と5次方程式 |date =1997-04-21 |publisher =シュプリンガー・フェアラーク東京|isbn=978-4-431-70692-2|page=317|ref={{Harvid|クライン|1997}}}} - 日本語訳。
** {{cite book|和書 |translator=関口次郎・前田博信 |title =正20面体と5次方程式 |date =2012-08-25 |edition = 改訂新版 |publisher =丸善出版|isbn=978-4-621-06364-4 |page=357 |ref={{Harvid|クライン|2012}}}} - 日本語訳の改訂新版。数学者スロードウィーによる解説・注釈を収録。

== 関連項目 ==
<!--項目の50音順-->
{{Div col}}
* [[カルボラン]]
* [[正多面体]]
* [[正二十面体の星型一覧]]
* [[正六百胞体]]
* [[ダイマクション地図]]
* [[ドジック]]
* [[バクテリオファージ]]
{{Div col end}}

== 外部リンク ==
* {{高校数学の美しい物語|666|正二十面体の対角線・体積・内接球などを座標で計算}}
* {{MathWorld|title=Icosahedron|urlname=Icosahedron}}
* {{MathWorld|title=Regular Icosahedron|urlname=RegularIcosahedron}}
* {{MathWorld|title=Icosahedral Graph|urlname=IcosahedralGraph}}
* {{MathWorld|title=Icosahedral Group|urlname=IcosahedralGroup}}

{{Commonscat|Icosahedron|二十面体}}
{{多面体}}

{{DEFAULTSORT:せいにしゆうめんたい}}
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:正多面体]]
[[Category:デルタ多面体]]