正二十面体

テンプレート:Infobox Polyhedron with net

正二十面体（せいにじゅうめんたい、テンプレート:Lang-en-short）は立体の名称の1つ。空間を正三角形20枚で囲んだ凸多面体。3次元空間で最大の面数を持つ正多面体である。

正多面体のひとつである正十二面体の頂点周りを面の中心まで切頂することによって得られる（双対関係）。

また、正六面体や正十二面体に対する捩じり切り操作と同様の操作を正四面体に対して行うことでも得られる^[1]。

性質

正反五角柱の両底面に正五角錐を貼り付けた形である。よって、正二十面体を双五角錐反柱 (テンプレート:Interlang) と呼ぶ場合がある。
向かい合う面は平行である。
展開図の数は43,380種類。
面の数は20、辺の数は30、頂点の数は12。
頂点形状は正五角形であり、5本の辺と5枚の正三角形が集まる。
正十二面体と双対である。

計量

一辺の長さをaとすると、

面の面積	$A = \frac{1}{4} \sqrt{3} a^{2}$
表面積	$S = 20 A = 5 \sqrt{3} a^{2}$
体積	$V = \frac{1}{3} S r = \frac{15 + 5 \sqrt{5}}{12} a^{3}$
最長対角線の長さ	$d = \frac{\sqrt{10 + 2 \sqrt{5}}}{2} a$
外接球半径	$R = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{10 + 2 \sqrt{5}}}{4} a$
内接球半径	$r = \frac{3 \sqrt{3} + \sqrt{15}}{12} a$

頂点、辺、面の座標

以下は、標準的な座標の取り方の一つである。ここで $φ$ は黄金比 $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ 、 $ϵ_{1}, ϵ_{2}, ϵ_{3} = \pm 1$ である。

12個の頂点（原点からの距離 $\sqrt{φ + 2}$ ）の座標

$(0, ϵ_{2}, ϵ_{3} φ)$ のxyz座標を偶置換した 12個

30個の辺（長さ $2$ ）の、両端点および中心の座標

両端点 $(0, ϵ_{2}, ϵ_{3} φ)$ と $(ϵ_{1}, ϵ_{2} φ, 0)$ 、中心 $\frac{1}{2} (ϵ_{1}, ϵ_{2} φ^{2}, ϵ_{3} φ)$ のxyz座標を偶置換した 24個
両端点 $(0, 1, ϵ_{3} φ)$ と $(0, - 1, ϵ_{3} φ)$ 、中心 $(0, 0, ϵ_{3} φ)$ のxyz座標を偶置換した 6個

20個の面の、外側から見て反時計回りの頂点列および中心の座標

頂点 $(0, ϵ_{2}, ϵ_{1} ϵ_{2} φ), (ϵ_{1} φ, 0, ϵ_{1} ϵ_{2}), (ϵ_{1}, ϵ_{2} φ, 0)$ の4個
頂点 $(0, ϵ_{2}, - ϵ_{1} ϵ_{2} φ), (ϵ_{1}, ϵ_{2} φ, 0), (ϵ_{1} φ, 0, - ϵ_{1} ϵ_{2})$ の4個
頂点 $(0, ϵ_{2}, ϵ_{3} φ)$ , $(0, - ϵ_{2}, ϵ_{3} φ)$ , $(ϵ_{2} ϵ_{3} φ, 0, ϵ_{3})$ のxyz座標を偶置換した 12個

対称性

テンプレート:Main 正二十面体の回転テンプレート:仮リンク $I$ は5文字の交代群 $A_{5}$ に同型である。位数は60。この非可換単純群は5文字の対称群 $S_{5}$ の唯一の非自明な正規部分群である。一般の五次方程式のガロア群は5文字の対称群に同型であり、そしてこの正規部分群が単純で非可換なので、一般の五次方程式は冪根による解を有しない。アーベル‐ルフィニの定理の証明はこの単純な事実を用いる。そしてフェリックス・クラインはテンプレート:仮リンクの理論を利用して一般の五次方程式の解析的解法を導く本を書いたテンプレート:Harv。詳しい歴史ならびに関係する7文字と11文字の対称性についてはテンプレート:仮リンクを見よ。

（鏡映を含めた）正二十面体の全て(full)の対称性の群はテンプレート:訳語疑問点範囲 $I_{h}$ として知られる。位数は120。そしてこれは回転対称群と、正二十面体の中心を通る鏡映によって生成されるサイズ2の群 $C_{2}$ との直積 $A_{5} \times C_{2}$ に同型である。