正則ベクトル束のソースを表示

[[数学]]において，'''正則ベクトル束'''（せいそくベクトルそく，{{lang-en-short|holomorphic vector bundle}}）とは，[[複素多様体]] {{mvar|X}} 上の[[複素ベクトル束]]であって，全空間 {{mvar|E}} が複素多様体であり射影 {{math|π: ''E'' → ''X''}} が[[正則関数|正則]]であるようなものである．基本的な例は複素多様体の正則接束とその双対正則余接束である．'''正則直線束''' (holomorphic line bundle) は階数が 1 の正則ベクトル束である．

セールの [[代数幾何学と解析幾何学#GAGA|GAGA]] により，[[滑らかな代数多様体|滑らかな]]複素[[射影多様体]] {{mvar|X}}（複素多様体と見る）上の正則ベクトル束の圏は，{{mvar|X}} 上の{{仮リンク|代数ベクトル束|en|algebraic vector bundle}}（すなわち階数が有限の[[局所自由層]]）の圏と同値である．

==自明化を通した定義==
具体的には，局所自明化写像
:<math>\phi_U \colon \pi^{-1}(U) \to U \times \mathbf{C}^k</math>
は[[双正則]]であることを要求する．これは[[変換関数]]
:<math>t_{UV} \colon U\cap V \to \operatorname{GL}_k(\mathbf{C})</math>
が正則であると要求することと同値である．複素多様体の接束上の正則構造は，ベクトル値正則関数の（適切な意味での）微分がそれ自身正則であることに注意すると保証される．

==正則切断の層==
{{mvar|E}} を正則ベクトル束とする．''局所切断'' {{math|''s'': ''U'' → ''E''{{!}}<sub>''U''</sub>}} が'''正則''' (holomorphic) であるとは，それが {{mvar|U}} の各点の近傍においてある（同値だが任意の）自明化において正則であることをいう．

この条件は局所的である，つまり正則切断たちは {{mvar|X}} 上の[[層 (数学)|層]]をなす．この層は <math>\mathcal O(E)</math> と書かれることがある．そのような層は必ずベクトル束と同じ階数の局所自由である．{{mvar|E}} が自明な直線束 <math>\underline{\mathbf{C}}</math> であるとき，この層は複素多様体 {{mvar|X}} の[[構造層]] <math>\mathcal O_X</math> と一致する．

==正則ベクトル束に値を持つ形式の層==
<math>\mathcal E_X^{p, q}</math> で {{math|(''p'', ''q'')}} 型の {{math|''C''<sup>∞</sup>}} 微分形式の層を表すと，{{mvar|E}} に値を持つ {{math|(''p'', ''q'')}} 型形式の層は[[テンソル積]]
:<math>\mathcal{E}^{p, q}(E) \triangleq \mathcal E_X^{p, q}\otimes E</math>
として定義できる．

これらの層は[[細層]]である，つまり[[1の分割]]を持つ．

滑らかなベクトル束と正則ベクトル束の間の基本的な差異は，後者には'''{{仮リンク|ドルボー作用素|en|Dolbeault operator|preserve=1|redirect=1}}'''と呼ばれる標準的な微分作用素
:<math>\overline{\partial} : \mathcal{E}^{p, q}(E) \to \mathcal{E}^{p, q+1}(E)</math> 
が存在することである．それは局所座標において反正則微分を取ることによって得られる．

==正則ベクトル束のコホモロジー==
{{mvar|E}} が正則ベクトル束であるとき，{{mvar|E}} のコホモロジーは <math>\mathcal O(E)</math> の[[層係数コホモロジー]]と定義される．とくに，
:<math>H^0(X, \mathcal O(E)) = \Gamma (X, \mathcal O(E)),</math> 
{{mvar|E}} の大域正則切断の空間，となる．また，<math>H^1(X, \mathcal O(E))</math> は {{mvar|E}} による {{mvar|X}} の自明直線束の拡大，つまり，正則ベクトル束の[[完全列]] {{math|0 → ''E'' → ''F'' → ''X'' × '''C''' → 0}}, の群をパラメトライズする．群構造については，{{仮リンク|Baer 和|en|Baer sum}}や{{仮リンク|層の拡大|en|sheaf extension}}も参照．

==ピカール群==
複素微分幾何の文脈では，複素多様体 {{mvar|X}} のピカール群 {{math|Pic(''X'')}} は，正則直線束の同型類の群であって，積はテンソル積，逆元は双対である．それは消えない正則関数の層の一次コホモロジー群 <math>H^1(X, \mathcal O_X^*)</math> として定義することもできる．

==正則ベクトル束上のエルミート計量==
{{see also|[[エルミート接続]]}}
{{mvar|E}} を複素多様体 {{mvar|M}} 上の正則ベクトル束とし，{{mvar|E}} 上に[[エルミート計量]]が存在するとする，つまり，ファイバー {{mvar|E<sub>x</sub>}} に滑らかに変化する内積 {{math|&lang;&bull;, &bull;&rang;}} が備わっているとする．すると複素構造と計量構造の両方と両立する {{mvar|E}} 上の[[接続 (ベクトル束)|接続]] {{math|∇}} が一意的に存在する．つまり，{{math|∇}} が次のような接続である：
:(1) {{mvar|E}} の任意の滑らかな切断 {{mvar|s}} に対して，<math>p \nabla s = \bar \partial s</math> ただし {{mvar|p}} は {{仮リンク|ベクトル値形式|en|vector valued form|label={{mvar|E}} 値 1 形式}}の {{math|(0, 1)}} 成分を取る．
:(2) {{mvar|E}} の任意の滑らかな切断 {{mvar|s}}, {{mvar|t}} と {{mvar|M}} 上のベクトル場 {{mvar|X}} に対し，
:::<math>X \cdot \langle s, t \rangle = \langle \nabla_X s, t \rangle + \langle s, \nabla_X t \rangle</math>
::ただし {{mvar|X}} による <math>\nabla s</math> の [[内積|contraction]] を <math>\nabla_X s</math> と書いた．（これは {{math|∇}} による{{仮リンク|平行移動 (リーマン幾何)|en|parallel transport|label=平行移動}}が計量 {{math|&lang;&bull;, &bull;&rang;}} を保存すると言っても同じである．）

実際，{{math|1=''u'' = (''e''<sub>1</sub>, …, ''e''<sub>''n''</sub>)}} が正則枠であるとき，<math>h_{ij} = \langle e_i, e_j \rangle</math> とし， {{mvar|ω<sub>u</sub>}} を等式 <math>\sum h_{ik} \, {(\omega_u)}^k_{j} = \partial h_{ij}</math> によって定義する．この等式をより単純に次のように書く：
:<math>\omega_u = h^{-1} \partial h.</math>
{{math|1=''u''&prime; = ''ug''}} を基底の正則な変換 {{mvar|g}} による別の枠とすると，
:<math>\omega_{u'} = g^{-1} dg + g \omega_u g^{-1}</math>
であり，したがって {{mvar|ω}} は確かに[[接続形式]]であって，{{math|1=∇''s'' = ''ds'' + ω · ''s''}} によって {{math|∇}} を生じる．今，<math>{\overline{\omega}}^T = \overline{\partial} h \cdot h^{-1}</math> であるから，
:<math>d \langle e_i, e_j \rangle = \partial h_{ij} + \overline{\partial} h_{ij} = \langle {\omega}^k_i e_k, e_j \rangle + \langle e_i, {\omega}^k_j e_k \rangle = \langle \nabla e_i, e_j \rangle + \langle e_i, \nabla e_j \rangle.</math>
つまり，{{math|∇}} は計量構造と両立する．最後に，{{mvar|ω}} は {{math|(1, 0)}} 形式であるから，<math>\nabla s</math> の {{math|(0, 1)}} 成分は <math>\bar \partial s</math> である．

<math>\Omega = d \omega + \omega \wedge \omega</math> を {{math|∇}} の[[曲率形式]]とする．<math>p \nabla = \bar \partial</math> は二乗して零になるから，{{math|Ω}} は {{math|(0, 2)}} 成分を持たず，{{math|Ω}} は歪エルミートであることが容易に示せるから<ref>例えば，{{mvar|E}} 上のエルミート計量の存在は，枠束の構造群が[[ユニタリ群]]に帰着され，{{math|Ω}} がこのユニタリ群のリー環（歪エルミート行列からなる）に値を持つことを意味する．</ref>，それはまた {{math|(2, 0)}} 成分ももたない．したがって，{{math|Ω}} は次で与えられる {{math|(1, 1)}} 形式である：
:<math>\Omega = \bar \partial \omega.</math><!-- \bar \partial \partial log |h|. -->

曲率 {{math|Ω}} は正則ベクトル束の高次コホモロジーの[[消滅定理]]<!-- 複数の定理を対象としているので曖昧さ回避ページ以外にリンクしようがない-->，例えば[[小平の消滅定理]]や{{仮リンク|中野の消滅定理|en|Nakano's vanishing theorem}}，において顕著に現れる．

== 脚注 ==
{{reflist}}

== 参考文献 ==
* {{Citation | last1=Griffiths | first1=Phillip | author1-link=Phillip Griffiths | last2=Harris | first2=Joseph | author2-link=Joe Harris (mathematician) | title=Principles of algebraic geometry | publisher=[[John Wiley & Sons]] | location=New York | series=Wiley Classics Library | isbn=978-0-471-05059-9 | mr=1288523 | year=1994}}
*{{SpringerEOM|title=Vector bundle, analytic|urlname=Vector_bundle,_analytic}}

== 関連項目 ==
*{{仮リンク|バーコフ・グロタンディークの定理|en|Birkhoff–Grothendieck theorem}}
*{{仮リンク|キレン計量|en|Quillen metric}}
*[[セール双対性]]

== 外部リンク ==
*http://mathoverflow.net/questions/87719/splitting-principle-for-holomorphic-vector-bundles/

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