正則凸包のソースを表示

[[数学]]の[[複素解析]]の分野において、''n''-[[次元]][[複素数|複素空間]] '''C'''<sup>''n''</sup> 内のある与えられた[[コンパクト集合]]に対する'''正則凸包'''（せいそくとつほう、{{Lang-en-short|holomorphically convex hull}}）は、次のように定義される。

<math>G \subset {\mathbb{C}}^n</math> をある領域（すなわち、[[連結空間|連結]][[開集合]]）あるいはより一般に、<math>n</math>-次元[[複素多様体]]とする。<math>{\mathcal{O}}(G)</math> を、<math>G</math> 上の[[正則函数]]の集合とする。あるコンパクト集合 <math>K \subset G</math> の'''正則凸包'''は、次で定義される。

:<math> \hat{K}_G := \{ z \in G \big| \left| f(z) \right| \leq \sup_{w \in K} \left| f(w) \right| \mbox{ for all } f \in {\mathcal{O}}(G) \} .</math>

この定義において ''f'' を[[多項式]]とすることで、より特殊な概念である'''多項式凸包'''（polynomial convex hull）が得られる。

<math>G</math> 内でコンパクトなすべての <math>K \subset G</math> に対して <math>\hat{K}_G</math> も <math>G</math> 内でコンパクトであるなら、そのような領域 <math>G</math> は'''正則凸'''（holomorphically convex）であると言われる。これはしばしば ''holomorph-convex'' と略記される。

<math>n=1</math> のとき、<math>\hat{K}_G</math> は <math>G \setminus K \subset G</math> の相対コンパクトな成分と <math>K</math> との合併であるため、任意の領域 <math>G</math> は正則凸である。またこのとき、領域が正則凸であることは、それが[[正則領域]]であることと同値であることに注意されたい（カルタン＝トゥレンの定理）。これらの概念は、[[多変数複素函数]]の ''n'' > 1 の場合にはさらに重要となる。

== 関連項目 ==
* [[シュタイン多様体]]
* [[擬凸性]]

== 参考文献 ==
* [[ラース・ヘルマンダー|Lars Hörmander]]. ''An Introduction to Complex Analysis in Several Variables'', North-Holland Publishing Company, New York, New York, 1973.
* Steven G. Krantz. ''Function Theory of Several Complex Variables'', AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island, 1992.

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