正則測度のソースを表示

{{more footnotes|date=January 2013}}
[[数学]]の分野における、ある[[位相空間]]上の'''正則測度'''（せいそくそくど、{{Lang-en-short|regular measure}}）とは、その空間内のすべての[[測度|可測集合]]について「近似的に開」（approximately open）かつ「近似的に閉」（approximately closed）であるような[[測度]]のことを言う。

== 定義 ==
(''X'', ''T'') を位相空間とし、Σ を、位相 ''T'' を含む ''X'' 上の[[完全加法族|&sigma;-代数]]とする（したがって、すべての[[開集合]]と[[閉集合]]は可測集合であり、Σ は少なくとも ''X'' 上の[[ボレル集合|ボレル&sigma;-代数]]と同じくらい良質なものである）。''μ'' を (''X'', Σ) 上の測度とする。''X'' の可測部分集合 ''A'' が ''&mu;'''''-正則'''であるとは、

:<math>\mu (A) = \sup \{ \mu (F) | F \subseteq A, F \mbox{ closed} \}</math>

および

:<math>\mu (A) = \inf \{ \mu (G) | G \supseteq A, G \mbox{ open} \} </math>

が成り立つことを言う。あるいは、''A'' が ''&mu;''-正則集合であるための[[必要十分条件]]は、すべての ''δ'' &gt; 0 に対して、

:<math>F \subseteq A \subseteq G</math>

および

:<math>\mu (G \setminus F) < \delta </math>

を満たすような閉集合 ''F'' と開集合 ''G'' が存在することを言う。

これら二つの定義は、<math>\mu(A)</math> が有限である場合には同値となる<ref>{{Cite book|洋書 |title=Measure Theory |year=1950 |publisher=Springer New York |page=228 |url=https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4684-9440-2 |author=Paul Halmos}}</ref>（そうでない場合には、二つ目の定義の方が強くなる）。すべての可測集合が正則であるとき、''&mu;'' は'''正則測度'''と呼ばれる。

人によっては、集合 ''F'' が（閉であるだけでなく）コンパクトであることも必要とする<ref>{{harvnb|Dudley|1989|loc=Sect. 7.1}}</ref>。

== 例 ==
* [[実数直線]]上の[[ルベーグ測度]]は正則測度である：[[ルベーグ測度の正則性定理]]を見られたい。
* 任意の[[距離空間]]上の任意のボレル[[確率測度]]は、正則測度である。
* （すべての可測部分集合に対してゼロの値を取るような）[[自明測度]]は、正則測度である。
* 通常位相を備える実数直線上の、正則測度でない測度 ''μ'' の自明な例には、以下のようなものがある。
**<math>\mu(\emptyset) = 0</math>,
**<math>\mu\left( \{1\}\right) = 0\,\,</math>, and
**<math>\mu(A) = \infty\,\,</math> for any other set <math>A</math>.

== 脚注 ==
<references />

== 参考文献 ==
* {{cite book | last=Billingsley | first=Patrick | title=Convergence of Probability Measures | publisher=John Wiley & Sons, Inc. | location=New York | year=1999 | isbn = 0-471-19745-9}}
* {{cite book
|     last = Parthasarathy
|    first = K. R.
|    title = Probability measures on metric spaces
|publisher = AMS Chelsea Publishing, Providence, RI
|     year = 2005
|     isbn = 0-8218-3889-X
|    page = xii+276
}} {{MathSciNet|id=2169627}} (See chapter 2)

*{{cite book
|first=R. M.
|last=Dudley
|author-link=:en:Richard M. Dudley
|title=Real Analysis and Probability
|publisher=Chapman & Hall
|year=1989}}
*{{Citation|洋書|title=Measure Theory|last=Halmos|first=Paul|year=1950|url=https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4684-9440-2|publisher=Springer New York|page=228}}

== 関連項目 ==
* [[ボレル正則測度]]
* [[ラドン測度]]
* [[ルベーグ測度の正則性定理]]

{{DEFAULTSORT:せいそくそくど}}

[[Category:測度論]]
[[Category:数学に関する記事]]