正四面体のソースを表示

{{出典の明記|date=2016年11月}}

{{Infobox polyhedron
| Image_File=Tetrahedron (PSF).svg
| Animation_File=Tetrahedron.gif
| Polyhedron_Type=[[正多面体]]、[[デルタ多面体]]、[[四面体]]
| Face_Count=4
| Face_List=[[正三角形]]
| Edge_Count=6
| Vertex_Count=4
| Vertex_List=3, 3, 3<br />3<sup>3</sup>
| Vertex_Image_File=Tetrahedron vertfig.svg
| wythoff=3 &#124; 2 3<br />&#124; 2 2 2
| schlafli={3, 3}
| symmetry=[[シェーンフリース記号|T<sub>d</sub>]]
| dual=自己双対
| Property_List=[[凸集合]]
| Net_Image_File=Tetrahedron flat.svg
}}

'''正四面体'''（せいしめんたい、せいよんめんたい、{{Lang-en-short|regular [[倍数接頭辞|tetra]]<nowiki />hedron}}）とは、4枚の[[図形の合同|合同]]な[[正三角形]]を面とする[[四面体]]である。

最も[[頂点]]・[[辺]]・面の数が少ない[[正多面体]]であり、最も頂点・辺・面の数が少ない[[デルタ多面体]]であり、アルキメデスの正三[[角錐]]である。また、[[3次元]]の[[正単体]]である。

なお一般に、''n'' 面体の[[トポロジー]]は一定しないが、四面体だけは1種類のトポロジーしかない。つまり、四面体は全て、正四面体と[[同相]]であり、正四面体の辺を伸ばしたり縮めたりしたものである。

==性質==
[[Image:TetraederCrossSection.png|thumb|正四面体のペトリー多角形]]
[[Image:Tetraeder animation with cube.gif|thumb|立方体の中の正四面体（[[アニメGIF]]）]]
[[Image:Symmetries of the tetrahedron.svg|thumb|正四面体の対称性]]

* 面の数は4、辺の数は6、頂点の数は4。これらは全て多面体で最少である。また、[[パスカルの三角形]]の第5段の2～4番目の数字でもある。
* 頂点形状は正三角形であり、3本の辺と3枚の正三角形が集まる。これらはパスカルの三角形の第4段の2、3番目の数字である。
* 自らと[[双対多面体|双対]]である（[[自己双対多面体]]）。
* [[対角線]]は存在しない。
* [[ペトリー多角形]]は[[正方形]]である。
* [[立方体]] (±1, ±1, ±1) の4つの頂点 (1,1,1), (1,-1,-1), (-1,1,-1), (-1,-1,1) を結べば、正四面体になる。
* 正四面体の辺の中点を結べば、[[正八面体]]になる。このとき4個の正四面体ができる。逆に正八面体の互い違いの4面を延長すると、正四面体になる。
* [[展開図]]は2通りあり、一方は[[正三角形]]、もう一方は[[平行四辺形]]になる。
* 単独で[[空間充填]]は出来ないが、[[正八面体]]と組み合わせた空間充填は可能である。

===対称性===
[[対称性]]は、
*中心と頂点を通る直線について[[回転対称|3回対称]]
*中心と辺の[[中点]]を通る直線について4回反対称、したがって[[線対称]]（2回対称）
*中心と辺を通る面について[[面対称]]
などである。

==計量==
辺の[[長さ]]を <math>a\,</math> とする。

{|class="wikitable"
|面の[[面積]]
|<math> A = {\sqrt{3}\over4} a^2 </math>
|<math> \approx 0.433012702 a^2 </math>
|-
|[[表面積]]
|<math> S = 4 A = \sqrt 3 a^2 </math>
|<math> \approx 1.732050808 a^2 </math>
|-
|[[高さ]]
|<math> h =  \frac \sqrt 6 3 a </math>
|<math> \approx 0.816496581 a </math>
|-
|[[体積]]
|<math> V = \frac 1 3 A h ={\sqrt{2}\over12}a^3 </math>
|<math> \approx 0.117851130 a^3 </math>
|-
|辺と面のなす角
|<math> \tan ^{-1} \sqrt 2 </math>
|<math> \approx 54.735610 ^\circ </math>
|-
|[[二面角]]
|<math> \cos ^{-1} \frac 1 3 = \tan ^{-1} \sqrt 8 </math>
|<math> \approx 70.528779 ^\circ </math>
|-
| 中心と頂点を結ぶ直線のなす角
|<math> \frac \pi 2 + \sin ^{-1} \frac 1 3 = 2\tan ^{-1} \sqrt 2</math>
|<math> \approx 109.471221 ^\circ </math>
|-
| 頂点の[[立体角]]
|<math> 3 \cos ^{-1} \frac 1 3 - \pi = \cos ^{-1} \frac{23}{27}</math>
|<math> \approx 0.551285598 \ \mathrm{ sr } </math>
|-
|[[外接球]]（頂点を通る球）の[[半径]]
|<math> R = \sqrt \frac 3 8 a </math>
|<math> \approx 0.612372436 a </math>
|-
|[[内接球]]（面と接する球）の半径
|<math> r = {1\over3} R = {1\over\sqrt{24}} a </math>
|<math> \approx 0.204124145 a </math>
|-
|[[中接球]]（辺と接する球）の半径
|<math> r _ \mathrm M = \sqrt { r R } = {1\over\sqrt{8}} a </math>
|<math> \approx 0.353553391 a</math>
|-
| 傍接球の半径
|<math>r _ \mathrm E = {1\over\sqrt{6}} a </math>
|<math> \approx 0.408248290 a </math>
|-
| 頂点から傍心（傍接球の中心）までの距離
|<math> \sqrt \frac 3 2 a </math>
|<math> \approx 1.224744871 a </math>  <!-- exsphereがわかりません、わかる人訳してください-->
|}

== 正四面体から作られる図形 ==
<gallery>
Hexahedron.jpg|[[正六面体]]<br /><small>（切稜する）</small>
Truncatedtetrahedron.jpg|[[切頂四面体]]<br /><small>（切頂する）</small>
Octahedron.jpg|[[正八面体]]<br /><small>（更に深く切頂する）</small>
Truncatedoctahedron.jpg|[[切頂八面体]]<br /><small>（頂点と辺を削る）</small>
Cuboctahedron.jpg|[[立方八面体]]<br /><small>（Expansionを行う）</small>
Icosahedron.jpg|[[正二十面体]]<br /><small>（各面をねじる）</small>
Dual compound 4 max.png|[[星型八面体]]<small><br />（2つを[[複合多面体|複合]]させる）</small>
UC05-5 tetrahedra.png|5個の正四面体による複合多面体
UC06-10 tetrahedra.png|10個の正四面体による複合多面体
Triangular dipyramid.png|[[デルタ六面体]]<br /><small>（2つを貼り合わせる）</small>
Elongated triangular pyramid.png|[[正三角錐柱]]<br /><small>（[[角柱]]を追加）</small>
Square pyramid.png|[[正四角錐]]<br /><small>（角の数を増やす）</small>
Augmented tridiminished icosahedron.png|[[側錐三側錐欠損二十面体]]<br /><small>（[[三側錐欠損二十面体]]を追加）</small>
Triakistetrahedron.jpg|[[三方四面体]]<br /><small>（各面の中心を持ち上げる）</small>
Hexahedron.jpg|[[正六面体]]<br /><small>（各面の中心を更に持ち上げる）</small>
Tetrakishexahedron.jpg|[[四方六面体]]<br /><small>（各面と各辺の中心を持ち上げる）</small>
Rhombicdodecahedron.jpg|[[菱形十二面体]]<br /><small>（各面と各辺の中心を、四角形に分かれるように持ち上げる）</small>
Dodecahedron.svg|[[正十二面体]]<br /><small>（各頂点をねじる）</small>
Noimage.svg|[[正四面体リング]]<br /><small>（輪状に並べる）</small>
Schlegel wireframe 5-cell.png|[[正五胞体]]<br /><small>（5つを4次元空間内で貼り合わせる）</small>
Schlegel wireframe 16-cell.png|[[正十六胞体]]<br /><small>（16個を4次元空間内で貼り合わせる）</small>
Schlegel wireframe 600-cell_vertex-centered.png|[[正六百胞体]]<br /><small>（600個を4次元空間内で貼り合わせる）</small>
</gallery>

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|title=Regular Tetrahedron|urlname=RegularTetrahedron|author=[[:en:Frank Jackson|Jackson, Frank]] and [[:en:Eric W. Weisstein|Weisstein, Eric W.]] }}

{{Commonscat|Tetrahedron|四面体}}
{{多面体}}

{{DEFAULTSORT:せいしめんたい}}
[[Category:角柱・角錐]]
[[Category:自己双対多面体]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:正多面体]]
[[Category:デルタ多面体]]