正四面体

正四面体（せいしめんたい、せいよんめんたい、テンプレート:Lang-en-short）とは、4枚の合同な正三角形を面とする四面体である。

最も頂点・辺・面の数が少ない正多面体であり、最も頂点・辺・面の数が少ないデルタ多面体であり、アルキメデスの正三角錐である。また、3次元の正単体である。

なお一般に、n 面体のトポロジーは一定しないが、四面体だけは1種類のトポロジーしかない。つまり、四面体は全て、正四面体と同相であり、正四面体の辺を伸ばしたり縮めたりしたものである。

性質

正四面体のペトリー多角形

立方体の中の正四面体（アニメGIF）

正四面体の対称性

• 面の数は4、辺の数は6、頂点の数は4。これらは全て多面体で最少である。また、パスカルの三角形の第5段の2～4番目の数字でもある。
• 頂点形状は正三角形であり、3本の辺と3枚の正三角形が集まる。これらはパスカルの三角形の第4段の2、3番目の数字である。
• 自らと双対である（自己双対多面体）。
• 対角線は存在しない。
• ペトリー多角形は正方形である。
• 立方体 (±1, ±1, ±1) の4つの頂点 (1,1,1), (1,-1,-1), (-1,1,-1), (-1,-1,1) を結べば、正四面体になる。
• 正四面体の辺の中点を結べば、正八面体になる。このとき4個の正四面体ができる。逆に正八面体の互い違いの4面を延長すると、正四面体になる。
• 展開図は2通りあり、一方は正三角形、もう一方は平行四辺形になる。
• 単独で空間充填は出来ないが、正八面体と組み合わせた空間充填は可能である。

対称性

対称性は、

• 中心と頂点を通る直線について3回対称
• 中心と辺の中点を通る直線について4回反対称、したがって線対称（2回対称）
• 中心と辺を通る面について面対称

などである。

計量

辺の長さを $a$ とする。

面の面積	$A=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2$	$\approx 0.433012702a^2$
表面積	$S=4A=\sqrt{3}{a}^2$	$\approx 1.732050808a^2$
高さ	$h=\frac{\sqrt{6}}{3}a$	$\approx 0.816496581a$
体積	$V=\frac{1}{3}Ah=\frac{\sqrt{2}}{12}{a}^3$	$\approx 0.117851130a^3$
辺と面のなす角	${\tan }^{-1}\sqrt{2}$	$\approx 54.735610^{\circ }$
二面角	${\cos }^{-1}\frac{1}{3}={\tan }^{-1}\sqrt{8}$	$\approx 70.528779^{\circ }$
中心と頂点を結ぶ直線のなす角	$\frac{\pi }{2}+{\sin }^{-1}\frac{1}{3}=2{\tan }^{-1}\sqrt{2}$	$\approx 109.471221^{\circ }$
頂点の立体角	$3{\cos }^{-1}\frac{1}{3}-\pi ={\cos }^{-1}\frac{23}{27}$	$\approx 0.551285598\mathrm{s}\mathrm{r}$
外接球（頂点を通る球）の半径	$R=\sqrt{\frac{3}{8}}a$	$\approx 0.612372436a$
内接球（面と接する球）の半径	$r=\frac{1}{3}R=\frac{1}{\sqrt{24}}a$	$\approx 0.204124145a$
中接球（辺と接する球）の半径	$r_{\mathrm{M}}=\sqrt{rR}=\frac{1}{\sqrt{8}}a$	$\approx 0.353553391a$
傍接球の半径	$r_{\mathrm{E}}=\frac{1}{\sqrt{6}}a$	$\approx 0.408248290a$
頂点から傍心（傍接球の中心）までの距離	$\sqrt{\frac{3}{2}}a$	$\approx 1.224744871a$

正四面体から作られる図形

• 
  正六面体
  （切稜する）
• 
  切頂四面体
  （切頂する）
• 
  正八面体
  （更に深く切頂する）
• 
  切頂八面体
  （頂点と辺を削る）
• 
  立方八面体
  （Expansionを行う）
• 
  正二十面体
  （各面をねじる）
• 
  星型八面体
  （2つを複合させる）
• 
  5個の正四面体による複合多面体
• 
  10個の正四面体による複合多面体
• 
  デルタ六面体
  （2つを貼り合わせる）
• 
  正三角錐柱
  （角柱を追加）
• 
  正四角錐
  （角の数を増やす）
• 
  側錐三側錐欠損二十面体
  （三側錐欠損二十面体を追加）
• 
  三方四面体
  （各面の中心を持ち上げる）
• 
  正六面体
  （各面の中心を更に持ち上げる）
• 
  四方六面体
  （各面と各辺の中心を持ち上げる）
• 
  菱形十二面体
  （各面と各辺の中心を、四角形に分かれるように持ち上げる）
• 
  正十二面体
  （各頂点をねじる）
• 
  正四面体リング
  （輪状に並べる）
• 
  正五胞体
  （5つを4次元空間内で貼り合わせる）
• 
  正十六胞体
  （16個を4次元空間内で貼り合わせる）
• 
  正六百胞体
  （600個を4次元空間内で貼り合わせる）

外部リンク

• テンプレート:MathWorld