正弦三倍角円のソースを表示

{{暫定記事名|date=2024年12月}}
[[ファイル:Sine-Triple-Angle_Circle.png|サムネイル|308x308ピクセル|正弦三倍角円]]
{{仮リンク|三角形幾何学|de|Dreiecksgeometrie}}において、'''正弦三倍角円'''（せいげんさんばいかくえん<ref>{{Cite web |title=三角形の心 |url=http://taurus.ics.nara-wu.ac.jp/wd/glossary/triangle-centers.html |website=taurus.ics.nara-wu.ac.jp |access-date=2024-12-27 |publisher=奈良女子大学 理学部情報科学科 |author=鴨浩靖}}</ref>、{{Lang-en-short|sine-triple-angle circle}}）は、[[三角形]]に関して定義される[[円 (数学)|円]]の一つである<ref>[[MathWorld]], [[Eric Weisstein|Weisstein, Eric W]]</ref><ref>{{Cite book |last=Society |first=London Mathematical |url=https://books.google.com/books?id=aJmcAAAAMAAJ |title=Proceedings of the London Mathematical Society |date=1893 |publisher=Oxford University Press |pages=162 |language=en}}</ref>。{{Math|△''ABC''}}について、{{Mvar|BC}}上の点 {{Math|''A''{{sub|1}}, ''A''{{sub|2}}}}、{{Mvar|CA}}上の点{{Math|''B''{{sub|1}}, ''B''{{sub|2}}}}、{{Mvar|AB}}上の点{{Math|''C''{{sub|1}}, ''C''{{sub|2}}}}を、式{{Math|1=∠''A'' = ∠''AB''{{sub|1}}''C''{{sub|1}} = ∠''AC''{{sub|2}}''B''{{sub|2}}}}、{{Math|1=∠''B'' = ∠''BC''{{sub|1}}''A''{{sub|1}} = ∠''BA''{{sub|2}}''C''{{sub|2}}}}、{{Math|1=∠''C'' = ∠''CA''{{sub|1}}''B''{{sub|1}} = ∠''CB''{{sub|2}}''A''{{sub|2}}}}を満たすようにとる。
このとき、{{Math|''A''{{sub|1}}, ''A''{{sub|2}}, ''B''{{sub|1}}, ''B''{{sub|2}}, ''C''{{sub|1}}, ''C''{{sub|2}}}}は[[同一円周上にある]]。この円を正弦三倍角円という<ref>{{Cite book |url=https://books.google.com/books?id=TwAMAAAAYAAJ |title=The Messenger of Mathematics |date=1887 |publisher=Macmillan and Company |pages=125 |language=en}}</ref>。初め、[[ロバート・タッカー (数学者)|タッカー]]と[[ヨーゼフ・ジャン・バティスト・ノイベルグ|ノイベルグ]]はこの円を[[フランス語]]で "cercle triplicateur" と呼んでいた<ref>{{Cite book |url=https://books.google.com/books?id=chw3AQAAMAAJ&q=Sine-triple-angle%20circle%20Mathesis |title=Mathesis |date=1964 |publisher=Johnson Reprint Corporation |volume=7 |language=fr}}</ref>{{Efn|同様に仏語で cercle triplicateur　（{{Lang-en-short|triplicate ratio circle}}） と呼ばれる円である三乗比円（[[類似中線|第一ルモワーヌ円]]）と混同してはならない。}}。

== 性質 ==

* {{Math|1=''A''{{sub|1}}''A''{{sub|2}} : ''B''{{sub|1}}''B''{{sub|2}} : ''C''{{sub|1}}''C''{{sub|2}} = sin (3''A'') : sin (3''B'') : sin (3''C'')}} を満たす{{Sfn|Thébault|1956}}。これが、正弦三倍角円の名称の理由である。しかし、3辺をこの比で切るような円は無数に存在する。そのような円の中心は{{仮リンク|内心 (三角形)|en|Incenter|label=内心}} 、3つの[[傍心]]および正弦三倍角円の中心{{Math|''X''{{sub|49}}}}を通る[[双曲線]]上に存在する{{Sfn|Ehrmann|van Lamoen|2002}}。
* [[九点円]]と正弦三倍角円の[[相似の中心|相似中心]]は[[コスニタの定理|コスニタ点]]{{Math|''X''{{sub|54}}}}と[[キーペルト円錐曲線|キーペルト放物線]]の[[焦点 (幾何学)|焦点]]{{Math|''X''{{sub|110}}}}である。
* [[外接円]]と正弦三倍角円の相似中心は[[ブロカール円]]で[[ジェラベク双曲線]]の中心を反転した点{{Math|''X''{{sub|184}}}}と、{{Math|''X''{{sub|1147}}}}である<ref name="ETC">{{Cite web |url=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#X49 |title=Clark Kimberling's Encyclopedia of Triangle Centers - ETC |access-date=2024-12-27}}</ref>。
* それぞれ{{Mvar|A, B, C}}の正弦三倍角円における[[極と極線|極線]]と{{Mvar|BC, CA, AB}}の交点は[[共線]]である<ref name=":1">{{Cite book |url=https://books.google.com/books?id=5P03AAAAMAAJ |title=Mathematical Questions and Solutions |date=1887 |publisher=F. Hodgson. |pages=139 |language=en}}</ref>。
* 正弦三倍角円の[[半径]]は、

<math>\frac{R}{|1+8\cos(A)\cos(B)\cos(C)|},</math>

で表される。ここで{{Mvar|R}}は三角形の[[外接円]]の半径。

== 中心 ==
正弦三倍角円の[[中心]]は[[三角形の中心|三角形の心]]として [[Encyclopedia of Triangle Centers]] の{{Math|''X''{{sub|49}}}}に登録されている<ref name="ETC" /><ref>{{Cite book |url=https://books.google.com/books?id=3IzxAAAAMAAJ&q=Sine-triple-angle-circle |title=Congressus Numerantium |date=1970 |publisher=Utilitas Mathematica Pub. Incorporated |language=en}}</ref>。{{Math|''X''{{sub|49}}}}の[[三線座標]]は次の式で与えられる。 

<math>\cos(3A):\cos(3B):\cos(3C)</math>

三角形の[[外心]]と[[垂心]]をそれぞれ{{Mvar|O, H}}とする。{{Mvar|AO, AH}}でそれぞれ{{Mvar|H, O}}を[[鏡映]]した点の[[中点]]を{{Mvar|M{{sub|A}}}}と定める。{{Mvar|M{{sub|B}}, M{{sub|C}}}}を{{Mvar|B, C}}に対して同様に定義したとき、{{Math|△''ABC'', △''M{{sub|A}}M{{sub|B}}M{{sub|C}}''}}は[[図形の相似|相似]]でその中心は{{Math|''X''{{sub|49}}}}である。
== 一般化 ==
[[自然数]]{{Mvar|n}}において、

<math>

\begin{matrix} 
\angle A_1C_1A_2=(2n-1)A-(n-1)\pi,\\ 
 \angle B_1A_1B_2=(2n-1)B-(n-1)\pi,\\
 \angle C_1B_1C_2=(2n-1)C-(n-1)\pi,  
\end{matrix}
</math>

を満たすように冒頭と同様に点を配置したとき{{Math|''A''{{sub|1}}, ''A''{{sub|2}}, ''B''{{sub|1}}, ''B''{{sub|2}}, ''C''{{sub|1}}, ''C''{{sub|2}}}}は[[共円]]である。正弦三倍角円は{{Math|1=''n'' = 2}}の場合に該当する<ref name=":1" />。更に次の式が成立する。

<math>|A_1A_2|:|B_1B_2|:|C_1C_2|=\sin (2n-1)A:\sin (2n-1)B:\sin (2n-1)C</math>

== 関連項目 ==

* [[六点円]]
* [[タッカー円]]
* [[三角形の円錐曲線]]
* [[三角関数の公式の一覧|三倍角]]

== 脚注 ==
=== 出典 ===
{{Reflist}}
=== 注釈 ===
{{Notelist}}
== 参考文献 ==

* {{Cite book |title=Sine-triple-angle-circle |last=Thébault |publisher=[[Mathesis (雑誌)|Mathesis]] |year=1956 |pages=282–284 |volume=65 |ref=harv |first=Victor |author-link=ヴィクトル・テボー}}
* {{Cite book |title=The Stammler Circles |last=Ehrmann |first=Jean-Pierre |publisher=[[Forum Geometricorum]] |year=2002 |pages=151–161 |last2=van Lamoen |first2=Floor |ref=harv}}

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|title=Sine-Triple-Angle Circle|id=Sine-Triple-AngleCircle}}
* [[GeoGebra]],[https://www.geogebra.org/m/TjWr6Mzx X(49) Center of sine-triple-angle circle]
{{デフォルトソート:せいけんさんはいかくえん}}
[[Category:三角形]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:円 (数学)]]