正弦三倍角円
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テンプレート:仮リンクにおいて、正弦三倍角円（せいげんさんばいかくえん[1]、テンプレート:Lang-en-short）は、三角形に関して定義される円の一つである[2][3]。テンプレート:Mathについて、テンプレート:Mvar上の点 テンプレート:Math、テンプレート:Mvar上の点テンプレート:Math、テンプレート:Mvar上の点テンプレート:Mathを、式テンプレート:Math、テンプレート:Math、テンプレート:Mathを満たすようにとる。 このとき、テンプレート:Mathは同一円周上にある。この円を正弦三倍角円という[4]。初め、タッカーとノイベルグはこの円をフランス語で "cercle triplicateur" と呼んでいた[5]テンプレート:Efn。
性質
- テンプレート:Math を満たすテンプレート:Sfn。これが、正弦三倍角円の名称の理由である。しかし、3辺をこの比で切るような円は無数に存在する。そのような円の中心はテンプレート:仮リンク 、3つの傍心および正弦三倍角円の中心テンプレート:Mathを通る双曲線上に存在するテンプレート:Sfn。
- 九点円と正弦三倍角円の相似中心はコスニタ点テンプレート:Mathとキーペルト放物線の焦点テンプレート:Mathである。
- 外接円と正弦三倍角円の相似中心はブロカール円でジェラベク双曲線の中心を反転した点テンプレート:Mathと、テンプレート:Mathである[6]。
- それぞれテンプレート:Mvarの正弦三倍角円における極線とテンプレート:Mvarの交点は共線である[7]。
- 正弦三倍角円の半径は、
で表される。ここでテンプレート:Mvarは三角形の外接円の半径。
中心
正弦三倍角円の中心は三角形の心として Encyclopedia of Triangle Centers のテンプレート:Mathに登録されている[6][8]。テンプレート:Mathの三線座標は次の式で与えられる。
三角形の外心と垂心をそれぞれテンプレート:Mvarとする。テンプレート:Mvarでそれぞれテンプレート:Mvarを鏡映した点の中点をテンプレート:Mvarと定める。テンプレート:Mvarをテンプレート:Mvarに対して同様に定義したとき、テンプレート:Mathは相似でその中心はテンプレート:Mathである。
一般化
自然数テンプレート:Mvarにおいて、
を満たすように冒頭と同様に点を配置したときテンプレート:Mathは共円である。正弦三倍角円はテンプレート:Mathの場合に該当する[7]。更に次の式が成立する。