正弦波螺旋のソースを表示


[[ファイル:Sinusoidal spirals.svg|thumb|300px|right|正弦波螺旋<br />
({{math|1=''r{{sup|n}}'' = –1{{sup|''n''}} cos(''nθ''), ''θ'' = ''π''/2}}) の[[極座標系]]のグラフと対応する[[直交座標系]]におけるグラフ。{{legend-line|2px dashed cyan|{{math|1=''n'' = −2}}: [[直角双曲線]]}}{{legend-line|2px solid gold|{{math|1=''n'' = −1}}: [[直線]]}}{{legend-line|2px dotted #8A2BE2|{{math|1=''n'' = −1/2}}: [[放物線]]}}{{legend-line|dotted red|{{math|1=''n'' = 1/2}}: [[カージオイド]]}}{{legend-line|solid lime|{{math|1=''n'' = 1}}: [[円 (数学)|円]]}}{{legend-line|dashed blue|{{math|1=''n'' = 2}}: [[ベルヌーイのレムニスケート]]}}]]
[[代数幾何学]]における'''正弦波螺旋'''（せいげんはらせん<!-- 中国語において、正弦螺旋とも。 -->、{{Lang-en-short|sinusoidal spirals}}）は、次の[[極座標系]]の[[等式]]で定義される[[曲線]]の族である。

: <math>r^n = a^n \cos(n \theta)\,</math>

ここで{{Mvar|a}}は0でない定数で、{{Mvar|n}}は0でない[[有理数]]。原点中心で回転することで、次の式でも書くことができる。 

: <math>r^n = a^n \sin(n \theta).\,</math>

螺旋（[[渦巻]]）の形をしていないのにもかかわらず、螺旋と称される。正弦波螺旋は多くの有名な曲線を含んでいる。

* [[双曲線|直角双曲線]] ({{Math|1=''n'' = &minus;2}})
* [[直線]] ({{Math|1=''n'' = &minus;1}})
* [[放物線]] ({{Math|1=''n'' = &minus;1/2}})
* {{仮リンク|チルンハウスの三次曲線|en|Tschirnhausen cubic}}({{Math|1=''n'' = &minus;1/3}})
* {{仮リンク|ケイリーの六次曲線|en|Cayley's sextet}} ({{Math|1=''n'' = 1/3}})
* [[カージオイド]] ({{Math|1=''n'' = 1/2}})
* [[円 (数学)|円]] ({{Math|1=''n'' = 1}})
* [[ベルヌーイのレムニスケート]] ({{Math|1=''n'' = 2}})

[[コリン・マクローリン]]によって最初に研究された。

== 等式 ==
: <math>r^n = a^n \cos(n \theta)\,</math>

を[[微分]]して{{Mvar|a}}を取り除くことで、{{Mvar|r,θ}}に関する[[微分方程式]]を作ることができる。

: <math>\frac{dr}{d\theta}\cos n\theta + r\sin n\theta =0. </math>

したがって、

: <math>\left(\frac{dr}{ds},\ r\frac{d\theta}{ds}\right)\cos n\theta \frac{ds}{d\theta}
= \left(-r\sin n\theta ,\ r \cos n\theta \right)
= r\left(-\sin n\theta ,\ \cos n\theta \right)</math>

これは、極{{仮リンク|接角|en|Tangential angle}}が、

: <math>\psi = n\theta \pm \pi/2</math>

で表され、接角が、

: <math>\varphi = (n+1)\theta \pm \pi/2. </math>

であることを意味する（[[複号]]は{{Mvar|r}}と{{Math|cos ''nθ''}}が同符号なら正、異符号なら負をとる）。

単位[[接ベクトル]]は、

: <math>\left(\frac{dr}{ds},\ r\frac{d\theta}{ds}\right),</math>

であるため、上記のベクトルと大きさを比べると次の式を得る。

: <math>\frac{ds}{d\theta} = r \cos^{-1} n\theta = a \cos^{-1+\tfrac{1}{n}} n\theta. </math>

<math>n>0</math>ならば、特に一つのループの長さは次のように表現できる。

: <math>a\int_{-\tfrac{\pi}{2n}}^{\tfrac{\pi}{2n}} \cos^{-1+\tfrac{1}{n}} n\theta\ d\theta</math>

[[曲率]]は次の式で与えられる。

: <math>\frac{d\varphi}{ds} = (n+1)\frac{d\theta}{ds} = \frac{n+1}{a} \cos^{1-\tfrac{1}{n}} n\theta. </math>

== 性質 ==
原点を中心に持つ円による、正弦波螺旋の{{仮リンク|反転曲線|en|Inverse curve}}は、{{Mvar|n}}を元の曲線の[[反数]]に置き換えたものとなる。例えば、ベルヌーイのレムニスケートは直角双曲線になる。

正弦波曲線の、Isoptic{{Enlink|Orthoptic (geometry)|Isoptic}}曲線、[[垂足曲線]]及び負垂足曲線は、異なる正弦波螺旋になる。

rのべき乗に比例する[[中心力]]によって動く粒子の経路は正弦波螺旋である。

{{Mvar|n}}が[[整数]]で、{{Mvar|n}}点が半径{{Mvar|a}}の円に規則正しく配置されているとき、点からn点までの距離の[[幾何平均]]の集合は正弦波螺旋である。特に{{仮リンク|多項式レムニスケート|en|Polynomial lemniscate}}である。

== 出典 ==
* Yates, R. C.: ''A Handbook on Curves and Their Properties'', J. W. Edwards (1952), "Spiral" p.￥213&#x2013;214
* [http://www.2dcurves.com/spiral/spirals.html "Sinusoidal spiral" at www.2dcurves.com]
* [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Sinusoidal.html "Sinusoidal Spirals" at The MacTutor History of Mathematics]
* {{MathWorld|title=Sinusoidal Spiral|urlname=SinusoidalSpiral}}
* {{Cite journal|和書|author=中西 真悟|date=2023年03月07日|title=貴金属比の類似比による直角三角形と等角螺旋を活用した  リマソン（パスカルの蝸牛形）の作画や正弦波螺旋の幾何学的特性の再考|url=https://orsj.org/wp-content/nc-abstract/nc2023s/2023s-2-F-8.pdf|journal=日本オペレーションズ・リサーチ学会 2023年春季研究発表会}}

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