正形式のソースを表示

{{要改訳}}
[[複素幾何学]]では、'''正形式'''(positive form)とは、[[ホッジ理論#ホッジ分解|ホッジタイプ]] (p, p) の実形式である。
<!--In [[complex geometry]], the term ''positive form''
refers to several classes of real differential forms
of [[Hodge decomposition#Hodge_decomposition|Hodge type]] ''(p, p)''.-->

== (1,1)-形式 ==
複素多様体 M 上の実 (p,p)-形式は、タイプ (p,p) の実形式、つまり、交叉
:<math>\Lambda^{p,p}(M)\cap \Lambda^{2p}(M,{\Bbb R})</math>
を持つ形式である。実 (1,1)-形式 <math>\omega</math>  は正ということと、次の同値な条件が満たされることとは同値である。

#<math>\sqrt{-1}\omega</math> は正（必ずしも正定値である必要はない）の虚部を持つ[[エルミート形式]]である。
#(1,0)-形式の空間 <math>\Lambda^{1,0}M</math> のある基底 <math>dz_1, ... dz_n</math> に対し、<math>\sqrt{-1}\omega</math> は対角行列の形、非負な <math>\alpha_i</math> をもつ実形式 <math> \sqrt{-1}\omega = \sum_i \alpha_i dz_i\wedge d\bar z_i</math> と書くことができる。
#任意の (1,0) 接ベクトル <math>v\in T^{1,0}M</math> に対し、<math>-\sqrt{-1}\omega(v, \bar v) \geq 0</math>
#<math>I:\; TM\mapsto TM</math> を[[複素多様体|複素構造]]を決める作用素とすると、任意の実接ベクトル <math>v\in TM</math> に対し、<math>\omega(v, I(v)) \geq 0</math> である。
<!--== (1,1)-forms ==
Real (''p'',''p'')-forms on a complex manifold ''M''
are forms which are of type (''p'',''p'')  and real,
that is, lie in the intersection 
:<math>\Lambda^{p,p}(M)\cap \Lambda^{2p}(M,{\Bbb R}).</math>
A real (1,1)-form <math>\omega</math> 
is called '''positive''' if any of the
following equivalent conditions hold

#<math>\sqrt{-1}\omega</math> is an imaginary part of a positive (not necessarily positive definite) [[Hermitian form]].
#For some basis <math>dz_1, ... dz_n</math> in the space <math>\Lambda^{1,0}M</math> of (1,0)-forms,<math>\sqrt{-1}\omega</math> can be written diagonally, as <math> \sqrt{-1}\omega = \sum_i \alpha_i dz_i\wedge d\bar z_i,</math> with <math>\alpha_i</math> real and non-negative.
#For any (1,0)-tangent vector <math>v\in T^{1,0}M</math>, <math>-\sqrt{-1}\omega(v, \bar v) \geq 0</math>
#For any real tangent vector <math>v\in TM</math>, <math>\omega(v, I(v)) \geq 0</math>, where <math>I:\; TM\mapsto TM</math> is the [[Complex manifold|complex structure]] operator.-->

== 正のラインバンドル ==

代数幾何学では、正の (1,1)-形式は、[[豊富なラインバンドル]]の曲率形式として現れる（また、'''正のラインバンドル'''として知られている）。L を複素多様体上の正則なエルミートラインバンドルとすると、

:<math> \bar\partial:\; L\mapsto L\otimes \Lambda^{0,1}(M)</math>

は、複素多様体自身の複素構造を決める作用素である。従って、L は、エルミート構造を保存し、同時に、

:<math>\nabla^{0,1}=\bar\partial</math>

を満たす一意な接続を持つ。

この接続を'''[[エルミート接続|チャーン接続]]'''という。

チャーン接続の曲率 <math>\Theta</math> は、常に、純虚数 (1,1)-形式である。ラインバンドル L は、

:<math>\sqrt{-1}\Theta</math> 

が、正定値 (1,1)-形式であるとき、正であると呼ぶ。[[小平埋め込み定理]]は正のラインバンドルは豊富であり、逆に、任意の[[豊富なラインバンドル]]は <math>\sqrt{-1}\Theta</math> が正定値なエルミート計量を持つことを言っている。
<!--== Positive line bundles ==

In algebraic geometry, positive (1,1)-forms arise as curvature
forms of [[ample line bundle]]s (also known as 
''positive line bundles''). Let ''L'' be a holomorphic Hermitian line
bundle on a complex manifold, 

:<math> \bar\partial:\; L\mapsto L\otimes \Lambda^{0,1}(M)</math>

its complex structure operator. Then ''L'' is equipped with a unique connection preserving the Hermitian structure and satisfying 

:<math>\nabla^{0,1}=\bar\partial</math>.

This connection is called ''the [[Hermitian connection|Chern connection]]''.

The curvature <math>\Theta</math>  of a Chern connection is always a
purely imaginary (1,1)-form. A line bundle ''L'' is called ''positive'' if 

:<math>\sqrt{-1}\Theta</math> 

is a positive definite (1,1)-form. The [[Kodaira embedding theorem]] claims that a positive line bundle is ample, and conversely, any [[ample line bundle]] admits a Hermitian metric with <math>\sqrt{-1}\Theta</math> positive.-->

==  (p, p)-形式の正値性 ==

M 上の純 (1,1)-形式は、[[凸錐]](convex cone)を形成する。M が次元 <math>dim_{\Bbb C}M=2</math> のコンパクトな[[複素曲面]]でれば、ポアンカレ双対
:<math> \eta, \zeta \mapsto \int_M \eta\wedge\zeta</math>
を考えると{{仮リンク|双対凸錐|label=自己双対である凸錐|en|Convex cone#Dual_cone}}(self-dual)を持っている。

<math>2\leq p \leq dim_{\Bbb C}M-2</math> のとき (p, p)-形式に対し、正値性に関して 2つの異なった考え方がある。正の実係数を持つ正形式の積の線型結合であるときは、'''強い正値性'''を持つといわれる。n-次元複素多様体 M 上の実 (p, p)-形式 <math>\eta</math> は、コンパクトな台を持ち、強い正値性を持つすべての (n-p,n-p)-形式 ζ に対し、
<math>\int_M \eta\wedge\zeta\geq 0 </math>
であるときに、'''弱い正値性'''を持つといわれる。

弱い正値性と強い正値性は、凸錐を作る。コンパクトな多様体上では、これらの錐はポアンカレのペアについて{{仮リンク|双対凸錐|label=自己双対|en|Convex cone#Dual_cone}}(dual)である。
<!--== Positivity for ''(p, p)''-forms ==

Positive (1,1)-forms on ''M'' form a [[convex cone]].
When ''M'' is a compact [[complex surface]], 
<math>dim_{\Bbb C}M=2</math>, this cone is
[[Convex cone#Dual_cone|self-dual]], with respect
to the Poincaré pairing
:<math> \eta, \zeta \mapsto \int_M \eta\wedge\zeta</math>

For ''(p, p)''-forms, where <math>2\leq p \leq dim_{\Bbb C}M-2</math>,
there are two different notions of positivity. A form is called
'''strongly positive''' if it is a linear combination of
products of positive forms, with positive real coefficients.
A real ''(p, p)''-form <math>\eta</math> on an ''n''-dimensional
complex manifold ''M'' is called '''weakly positive'''
if for all strongly positive ''(n-p, n-p)''-forms 
ζ with compact support, we have
<math>\int_M \eta\wedge\zeta\geq 0 </math>.

Weakly positive and strongly positive forms
form convex cones. On compact manifolds
these cones are [[Convex cone#Dual_cone|dual]]
with respect to the Poincaré pairing.-->

==参考文献==

*Phillip Griffiths and Joseph Harris (1978), ''Principles of Algebraic Geometry'', Wiley. ISBN 0-471-32792-1

*J.-P. Demailly, ''[https://arxiv.org/abs/alg-geom/9410022 L<sup>2</sup> vanishing theorems for positive line bundles and adjunction theory, Lecture Notes of a CIME course on "Transcendental Methods of Algebraic Geometry" (Cetraro, Italy, July 1994)]''.


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[[Category:代数多様体]]
[[Category:微分形式]]
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