正形式

テンプレート:要改訳 複素幾何学では、正形式(positive form)とは、ホッジタイプ (p, p) の実形式である。

(1,1)-形式

複素多様体 M 上の実 (p,p)-形式は、タイプ (p,p) の実形式、つまり、交叉

${\mathrm{\Lambda }}^{p,p}(M)\cap {\mathrm{\Lambda }}^{2p}(M,ℝ)$

を持つ形式である。実 (1,1)-形式 $\omega$ は正ということと、次の同値な条件が満たされることとは同値である。

1. $\sqrt{-1}\omega$ は正（必ずしも正定値である必要はない）の虚部を持つエルミート形式である。
2. (1,0)-形式の空間 ${\mathrm{\Lambda }}^{1,0}M$ のある基底 $d{z}_1,...d{z}_n$ に対し、$\sqrt{-1}\omega$ は対角行列の形、非負な ${\alpha }_i$ をもつ実形式 $\sqrt{-1}\omega =\sum _i{\alpha }_{i}d{z}_i\wedge d{\overline{z}}_i$ と書くことができる。
3. 任意の (1,0) 接ベクトル $v\in T^{1,0}M$ に対し、$-\sqrt{-1}\omega (v,\overline{v})\ge 0$
4. $I:TM\mapsto TM$ を複素構造を決める作用素とすると、任意の実接ベクトル $v\in TM$ に対し、$\omega (v,I(v))\ge 0$ である。

正のラインバンドル

代数幾何学では、正の (1,1)-形式は、豊富なラインバンドルの曲率形式として現れる（また、正のラインバンドルとして知られている）。L を複素多様体上の正則なエルミートラインバンドルとすると、

$\overline{\partial }:L\mapsto L\otimes {\mathrm{\Lambda }}^{0,1}(M)$

は、複素多様体自身の複素構造を決める作用素である。従って、L は、エルミート構造を保存し、同時に、

${\mathrm{\nabla }}^{0,1}=\overline{\partial }$

を満たす一意な接続を持つ。

この接続をチャーン接続という。

チャーン接続の曲率 $\mathrm{\Theta }$ は、常に、純虚数 (1,1)-形式である。ラインバンドル L は、

$\sqrt{-1}\mathrm{\Theta }$

が、正定値 (1,1)-形式であるとき、正であると呼ぶ。小平埋め込み定理は正のラインバンドルは豊富であり、逆に、任意の豊富なラインバンドルは $\sqrt{-1}\mathrm{\Theta }$ が正定値なエルミート計量を持つことを言っている。

(p, p)-形式の正値性

M 上の純 (1,1)-形式は、凸錐(convex cone)を形成する。M が次元 $di{m}_{ℂ}M=2$ のコンパクトな複素曲面でれば、ポアンカレ双対

$\eta ,\zeta \mapsto \underset{M}{\int }\eta \wedge \zeta$

を考えるとテンプレート:仮リンク(self-dual)を持っている。

$2\le p\le di{m}_{ℂ}M-2$ のとき (p, p)-形式に対し、正値性に関して 2つの異なった考え方がある。正の実係数を持つ正形式の積の線型結合であるときは、強い正値性を持つといわれる。n-次元複素多様体 M 上の実 (p, p)-形式 $\eta$ は、コンパクトな台を持ち、強い正値性を持つすべての (n-p,n-p)-形式 ζ に対し、 $\underset{M}{\int }\eta \wedge \zeta \ge 0$ であるときに、弱い正値性を持つといわれる。

弱い正値性と強い正値性は、凸錐を作る。コンパクトな多様体上では、これらの錐はポアンカレのペアについてテンプレート:仮リンク(dual)である。

参考文献

• Phillip Griffiths and Joseph Harris (1978), Principles of Algebraic Geometry, Wiley. ISBN 0-471-32792-1

• J.-P. Demailly, L² vanishing theorems for positive line bundles and adjunction theory, Lecture Notes of a CIME course on "Transcendental Methods of Algebraic Geometry" (Cetraro, Italy, July 1994).