正準変数のソースを表示

{{出典の明記|date=2013年5月11日 (土) 10:49 (UTC)}}
'''正準変数'''(せいじゅんへんすう、{{lang-en-short|canonical variable}})とは、[[ハミルトン力学|ハミルトン形式]]の[[解析力学]]において、物体の運動を記述する基本変数として用いられる[[一般化座標]]と[[一般化運動量]]の組をいう<ref name="Ohnuki_Yoshida2001_sec2.1">[[#ohnuki_yoshida2001|大貫、吉田 (2000), &sect;2.1]]</ref><ref name="Yamamoto_Nakamura_1998a_sec4.1">[[#yamamoto_nakamura_1998a|山本、中村 (1998a), &sect;4.1]]</ref><ref name="Goldstein_Poole_Safko2001_sec8.1">[[#goldstein_poole_safko2001|H. Goldstein, C. Poole and J. Safko (2001), &sect;8.1]]</ref>。しばしば一般化座標は文字 {{mvar|q}} 、一般化運動量は {{mvar|p}} で表される。正準（カノニカル、{{lang-en-short|canonical}}）という語は標準的、慣例的という意味を表す<ref name="Jose_Saletan2013_sec5.1">[[#jose_saletan2013|Jorge V. José and Eugene J. Saletan (2013), &sect;5.1]]</ref>。[[ウィリアム・ローワン・ハミルトン]]によって導入された正準変数による形式に正準（{{lang-fr-short|canonique}}）という語を充てたのは、[[カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビ]]である<ref name="Jacobi1837">[[#jacobi1837|C. G. J. Jacobi (1837)]]</ref><ref name="Nakane">[[#nakane2000|中根 (2000)]]</ref>。

[[ニュートン力学]]や[[ラグランジュ力学]]においては、基本変数が一般化座標 {{mvar|q}} とその[[時間微分]]である[[一般化速度]] {{math|{{dot|''q''}}}} であったが、[[ハミルトン力学]]においては、一般化座標と一般化運動量が用いられる。[[ラグランジアン]]{{math|''L''{{=}}''L''(''q'',''{{dot|q}}'',''t'')}} は一般化座標、一般化速度、時間の関数である。ここで {{math|''L''}} に[[ルジャンドル変換]]
:<math>H=p\dot{q}-L</math>
を施すことで一般化座標、一般化運動量、時間を変数とする関数[[ハミルトニアン]]{{math|''H''{{=}}''H''(''q'',''p'',''t'')}}が得られ、正準方程式
:<math>\dot{q}=\frac{\partial H}{\partial p}</math>
:<math>\dot{p}=-\frac{\partial H}{\partial q}</math>
が得られる。

==概要==
一般化座標{{math|''q''{{=}}(''q''<sup>1</sup>,.., ''q<sup>n</sup>'')}}と正準共役な一般化運動量 {{math|''p''{{=}}(''p''<sub>1</sub>,.., ''p<sub>n</sub>'')}}の組による{{mvar|2n}}個の変数
{{math|(''q'', ''p''){{=}}(''q''<sup>1</sup>,.., ''q<sup>n</sup>'', ''p''<sub>1</sub>,.., ''p<sub>n</sub>'')}}を系の状態を指定する独立な変数と見なしたときに、{{math|(''q'', ''p'')}}を正準変数という<ref name="Ohnuki_Yoshida2001_sec2.1"></ref><ref name="Yamamoto_Nakamura_1998a_sec4.1"></ref><ref name="Goldstein_Poole_Safko2001_sec8.1"></ref>。このとき、一般化座標 {{mvar|q}} を正準座標、一般化運動量 {{mvar|p}} を正準運動量とも呼ぶ<ref name="Yamamoto_Nakamura_1998a_sec4.1"></ref>。正準変数{{math|(''q'', ''p'')}}を座標とする{{mvar|2n}}次元の空間を[[相空間]]という<ref name="Ohnuki_Yoshida2001_sec2.1"></ref><ref name="Yamamoto_Nakamura_1998a_sec4.1"></ref><ref name="Goldstein_Poole_Safko2001_sec8.1"></ref>。系の状態は相空間上の1点で指定される。ハミルトニアンを{{math|''H''{{=}}''H''(''q'',''p'',''t'')}}とするとき、物体の運動を記述する運動方程式は

:<math>\dot{q}^i(t)=\frac{\partial H}{\partial p_i}</math>
:<math>\dot{p}_i(t)=-\frac{\partial H}{\partial q^i}</math>

で与えられる。但し、ドット記号は時間微分を表す。この方程式をハミルトンの正準方程式という。この正準方程式で時間発展が定まる[[力学系]]を自由度{{mvar|n}}のハミルトン力学系、またはハミルトン系という。ハミルトン力学系での系の時間発展は相空間上の軌道{{math|(''q''(''t''), ''p''(''t''))}}で与えられる。

{{mvar|2n}}個の変数 {{math|''z''{{=}}(''z''<sup>1</sup>,.., ''z<sup>n</sup>'', ''z''<sup>''n''+1</sup>,.., ''z''<sup>2''n''</sup>)}}を

:<math>(z^1,\cdots, z^n, z^{n+1},\cdots, z^{2n}):=(q^1, \cdots, q^n, p_1, \cdots, p_n) </math>

で定義すると正準変数をまとめて、{{math|''z''{{=}}(''q'', ''p'')}}で表記することができる。[[列ベクトル]]での表記を {{math|{{mathbf|z}}{{=}}(''q''<sup>1</sup>,.., ''q<sup>n</sup>'', ''p''<sub>1</sub>,.., ''p<sub>n</sub>'')<sup>T</sup>}}とすると、正準方程式は

:<math>\dot{\boldsymbol{z}}(t)= \Omega \nabla H(\boldsymbol{z}(t)) </math>

となる。ここでは{{math|&nabla;}}は[[ナブラ演算子]]である。{{math|&Omega;{{=}}(&omega;<sub>''i'',''j''</sub>)}}は

:<math>
\Omega=\begin{pmatrix}
0_n    & I_n \\
-I_n & 0_n
\end{pmatrix}
</math>
で定義される{{math|2''n'' &times; 2''n''}}行列である。{{math|&Omega;}}内の{{math|0<sub>''n''</sub>}}は{{mvar|n}} 次の[[零行列]]、{{math|''I''<sub>''n''</sub>}}は{{mvar|n}} 次の[[単位行列]]である。

==ポアソン括弧==
{{main|ポアソン括弧}}
相空間上の関数{{math|''f''{{=}}''f''(''q'', ''p'', ''t'')}}、{{math|''g''{{=}}''g''(''q'', ''p'', ''t'')}}に対し

:<math>
\{f,g\}
:=\sum_{i=1}^n \Big(\frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial g}{\partial p_i}
 - \frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial g}{\partial q_i}\Big)
</math>

で定義される{{math|&#123;''f'', ''g''&#125;}}をポアソン括弧という。正準方程式による時間発展{{math|(''q''(''t''), ''p''(''t''))}}に対し、{{math|''f''{{=}}''f''(''q''(''t''), ''p''(''t''), ''t'')}}の時間変化は

:<math>\frac{d}{dt}f(q(t),p(t),t)=\frac{ \partial }{\partial t}f(q(t),p(t),t) +\{ f, H\}</math>

とハミルトニアン {{mvar|H}} とのポアソン括弧で表される。特に正準変数の時間発展を記述する正準方程式は

:<math>\dot{q}_i(t) = \{ q_i, H\}</math>
:<math>\dot{p}_i(t) = \{ p_i, H\}</math>

となる。
正準変数をまとめた表記{{math|''z''{{=}}(''q'', ''p'')}}と行列{{math|&Omega;{{=}}(&omega;<sub>ij</sub>)}}を用いるとポアソン括弧は

:<math>\{f,g\}=\sum_{i,j} \omega_{ij} \frac{\partial f}{\partial z_i}\frac{\partial g}{\partial z_j}</math>

となる。

==具体例==
===荷電粒子の運動===
電荷量{{mvar|e}}をとする質量{{mvar|m}}の荷電粒子の電磁場中における運動を考える<ref name="Jose_Saletan2013_sec5.1"></ref>。3次元空間での粒子の位置座標{{math|''{{mathbf|x}}'' {{=}}(''x'', ''y'', ''z'' )}}を一般化座標にとる。[[スカラーポテンシャル]]を{{math|&phi;(''{{mathbf|x}}'',''t'')}}、[[ベクトルポテンシャル]]を{{math|''{{mathbf|A}}''(''{{mathbf|x}}'',''t'')}}とすると、荷電粒子のラグランジアンは、

:<math>
L(\boldsymbol{x},\boldsymbol{\dot{x}},t)=\frac{1}{2}m \boldsymbol{\dot{x}}^2 -e \phi(\boldsymbol{x},t)+e \boldsymbol{\dot{x}}\cdot \boldsymbol{A}(\boldsymbol{x},t)
</math>

で与えられる。ここで{{math|''{{mathbf|x}}'' {{=}}(''x'', ''y'', ''z'' )}}に正準共役な運動量{{math|''{{mathbf|p}}'' {{=}}(''p<sub>x</sub>'', ''p<sub>y</sub>'', ''p<sub>z</sub>'' )}}は

:<math>p_x :=\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=m \dot{x} +e A_1 (\boldsymbol{x},t)</math>
:<math>p_y :=\frac{\partial L}{\partial \dot{y}}=m \dot{y} +e A_2 (\boldsymbol{x},t)</math>
:<math>p_z :=\frac{\partial L}{\partial \dot{z}}=m \dot{z} +e A_3 (\boldsymbol{x},t)</math>

である。これをベクトルで表記すると

:<math>\boldsymbol{p}=\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{\dot{x}}}=m \boldsymbol{\dot{x}} +e \boldsymbol{A} (\boldsymbol{x},t)</math>

となる。ハミルトニアンは

:<math>
\begin{align}
H(\boldsymbol{x} ,\boldsymbol{p},t)
&=\boldsymbol{p} \cdot \boldsymbol{\dot{x}}-L \\
&=\frac{1}{2m} \bigl ( \boldsymbol{p}-e\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x},t) \bigr )^2 +e \phi(\boldsymbol{x},t)
\end{align}
</math>

である。

===中心力ポテンシャルの下での運動===
距離{{math|''r''{{=}}{{sqrt|''x''<sup>2</sup>+''y''<sup>2</sup>+''z''<sup>2</sup>}}}}のみに依存する[[中心力ポテンシャル]]{{math|''V''{{=}}''V''(''r'')}}の下での質量{{mvar|m}}の粒子の運動を考える<ref name="Jose_Saletan2013_sec5.1"></ref>。3次元空間での粒子の位置の[[極座標]]表示を{{math|(''x'',''y'',''z''){{=}}(''r''sin''&theta;'' cos''&phi;'', ''r''sin''&theta;'' sin''&phi;'', ''r''sin''&phi;'')}}とし、極座標{{math|(''r'',''&theta;'',''&phi;'')}}を一般化座標にとる。このとき、粒子のラグランジアンは

:<math> L(r, \theta, \phi,\dot{r}, \dot{\theta}, \dot{\phi})= \frac{1}{2}m \bigl ( \dot{r}^2 +r^2 \dot{\theta}^2+r^2 \sin^2{\theta}\,\dot{\phi}^2 \bigr )-V(r) </math>

で与えられる。{{math|(''r'',''&theta;'',''&phi;'')}}に正準共役な運動量{{math|(''p<sub>r</sub>'',''p<sub>&theta;</sub>'',''p<sub>&phi;</sub>'')}}は

:<math> p_r:= \frac{\partial L}{\partial \dot{r}}=m \dot{r} </math>
:<math> p_{\theta}:= \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}=m r^2 \dot{\theta} </math>
:<math> p_{\phi}:= \frac{\partial L}{\partial \dot{\phi}}=m r^2 \sin^2{\theta} \, \dot{\phi} </math>

である。ハミルトニアンは

:<math> 
\begin{align}
H(r, \theta, \phi,p_r, p_\theta, p_\phi)
&=p_r \dot{r}+p_{\theta} \dot{\theta}+p_{\phi} \dot{\phi}-L \\
&= \frac{p_r^{\, 2}}{2m}+\frac{p_{\theta}^{\, 2}}{2mr^2}+\frac{p_{\phi}^{\, 2}}{2mr^2\sin^2{\theta}}+V(r) 
\end{align}
</math>

である。


== 脚注 ==
===出典===
{{reflist}}

==文献==
===論文===
*{{Cite journal
|author1=C. G. J. Jacobi,
|authorlink1=カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビ
|title=Note sur l'intégration des équations différentielles de la Dynamique, 
|journal=Comptes rendus de l’Acadmie des sciences de Paris
|year=1837
|volume=t. V
|page=61-67
|url=http://sites.mathdoc.fr/cgi-bin/oetoc?id=OE_JACOBI__4
|ref=jacobi1837}}, in
{{Cite journal
|journal= Wrecke
|volume=4
|page=129-126}}
*{{Cite journal
|author=中根美知代
|authorlink1=中根美知代
|title=物理学から数学へ:Hamilton-Jacobi理論の誕生
|journal=数理解析研究所講究録
|year=2000
|volume=1130
|page=58-71
|url=https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/handle/2433/63679
|doi=
|ref=nakane2000}}

===書籍===
*{{Cite book |和書
|title= 力学
|author1=大貫義郎
|authorlink1=大貫義郎
|author2=吉田春夫
|authorlink2=吉田春夫
|series=現代物理学叢書
|publisher=岩波書店
|year=2001
|isbn=978-4000067614
|ref=ohnuki_yoshida2001}}
*{{Cite book |和書
|title=解析力学I
|author1=山本義隆
|authorlink1=山本義隆
|author2=中村孔一
|authorlink2=中村孔一
|series=朝倉物理学大系
|publisher= 朝倉書店 
|year=1998
|isbn=978-4254136715
|ref=yamamoto_nakamura_1998a}}
*{{Cite book |和書
|title=解析力学II
|author1=山本義隆
|authorlink1=山本義隆
|author2=中村孔一
|authorlink2=中村孔一
|series=朝倉物理学大系
|publisher= 朝倉書店 
|year=1998
|isbn=978-4254136722
|ref=yamamoto_nakamura_1998b}}
*{{Cite book |
|title= Classical Mechanics
|author1=Herbert Goldstein
|authorlink1=:en:Herbert Goldstein
|author2=Charles Poole
|authorlink2=:en:Charles Poole
|author3=John Safko 
|authorlink3=:en:John Safko 
|edition=3rd
|publisher=Addison Wesley
|year=2001
|isbn=978-0201657029
|ref=goldstein_poole_safko2001}}
*{{Cite book |
|title= Classical Dynamics: A Contemporary Approach
|author1=Jorge V. José
|authorlink1=:en:Jorge V. José
|author2= Eugene J. Saletan
|authorlink2=:en:Eugene J. Saletan
|publisher=Cambridge University Press
|year=2013
|isbn=978-0521636360
|ref=jose_saletan2013}}

==関連項目==
*[[ハミルトン力学]]
*[[ハミルトニアン]]
*[[正準変換]]

{{physics-stub}}
{{DEFAULTSORT:せいしゆんへんすう}}
[[Category:力学]]
[[Category:ハミルトン力学]]