法線ベクトルのソースを表示

{{出典の明記|date=2016-05}}
[[画像:Surface normal.png|250px|thumb|曲面の法[[ベクトル場]]]]
'''法線ベクトル'''（ほうせんベクトル、{{lang-en-short|normal vector}}）とは、2次元平面においては、[[曲線]]上の点における[[接線]]に垂直な平面[[ベクトル]]、3次元空間においては、[[曲面]]上の点における[[接平面]]に垂直な[[空間ベクトル]]のことである。'''法線'''（ほうせん、{{lang-en-short|normal}}）とは、接線や接平面に[[垂直]]な[[直線]]のことである。

曲線（曲面）上の点に対して法線ベクトルは1つに決まらないことに注意する必要がある。そこで中でも[[単位ベクトル]]（[[ノルム]]が 1）であるものを'''単位法（線）ベクトル'''（{{lang-en-short|normal unit vector}}）というが、それでも2つあることに注意する必要がある。

== 3次元での例 ==
[[画像:Normal Vector.svg|250px|thumb|平面の法線ベクトルの例]]
曲面の法線ベクトルは、2つの[[線形独立]]な[[接ベクトル]]の[[クロス積|外積]]として求めることができる。

右図で示した[[右手系]]の[[正規直交座標系]]において、[[直方体]]の一つの面の頂点を A, B, C, D とすると、面 ABCD の法線ベクトル {{mvar|'''N'''}} は、
:<math>\boldsymbol{N} = \overrightarrow{\text{AB}} \times \overrightarrow{\text{AD}}</math>
となる。ここで ×はベクトルの外積を表す。[[ノルム]]は線分 AD と線分 BC の長さの積となっている。

線分 AB と線分 DC が ''x''軸に平行で、線分 AD と線分 BC が ''z''軸に平行な場合、
:<math>\boldsymbol{N} = -|\overrightarrow{\text{AB}}|\boldsymbol{i} \times |\overrightarrow{\text{AD}}|\boldsymbol{k} = |\overrightarrow{\text{AB}}| |\overrightarrow{\text{AD}}| \boldsymbol{j}</math>
となる。ここで '''''j''''' は ''y''軸方向の[[単位ベクトル]]である。

== 導出 ==
平面において、
* 曲線 <math>f(x,y)=0</math> 上の点 <math>(x_0,y_0)</math> における法線ベクトル：<math>\left( \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0),\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0) \right)</math>
** 特に、直線 <math>ax+by+c=0</math> 上の点 <math>(x_0,y_0)</math> における法線ベクトル：<math>(a,b)</math>
* 曲線 <math>x=f(t),y=g(t)</math>（{{mvar|t}} は[[媒介変数]]）の <math>t=t_0</math> における点の法線ベクトル：<math>\pm (y'(t_0),-x'(t_0))</math>

== 接空間の法線ベクトルによる表示 ==
接点と法線ベクトルから、元の[[接ベクトル空間|接空間]]を表すことができる。
* 接点 <math>\text{A}(\boldsymbol{a})</math>、法線ベクトル <math>\boldsymbol{n}</math> の接空間の方程式は <math>\boldsymbol{n} \cdot (\boldsymbol{x} - \boldsymbol{a})=0</math>

== 関連項目 ==
* [[線形代数学]]
** [[ベクトル空間]]
*** [[ベクトル]]
**** [[単位ベクトル]]
*** [[直交補空間]]
* [[ベクトル解析]]

== 外部リンク ==
* {{高校数学の美しい物語|840|法線ベクトルの3通りの求め方と応用}}

{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:ほうせんへくとる}}
[[Category:線型代数学]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:ベクトル]]