流れ (数学)のソースを表示

[[File:Flow and orbit of vector field (dynamical system).png|thumb|300px|流れ {{Math|''&phi;''<sup>''t''</sup>}}, 点 {{Math|'''''x'''''<sub>0</sub>}}, 像 {{Math|''&phi;''<sup>''t''</sup>('''''x'''''<sub>0</sub>)}}, 軌道 {{Math|''O''('''''x'''''<sub>0</sub>)}}, ベクトル場 {{Mvar|'''f'''}} の関係]]
数学における、特に[[力学系理論]]における'''流れ'''（{{Lang-en-short|flow}}）は、[[実数]]で表される連続時間で[[決定論]]的な時間発展を定式化したものである{{Sfn|浅岡|2023|p=11}}。ある種の条件を満たす[[連続写像]]（の[[族 (数学)|族]]）として与えられ、群論の言葉で言えば、[[加法群]] {{Math|&Ropf;}} の[[相空間]]への[[群作用]]に相当する。典型的には、[[ベクトル場]]（あるいはそれを与える[[自励系]][[常微分方程式]]）によって流れが定まる。流れを指して'''連続力学系'''や'''力学系'''とも呼ぶ。

==定義==
流れの具体的な定義は以下の通りである。[[位相空間]] {{Mvar|X}} 上の[[連続写像]]  {{Math|''&phi;'' : &Ropf; &times; ''X'' &rarr; ''X''}} を考え、{{Math|(''t'', ''x'') &isin; &Ropf; &times; ''X''}} に対する {{Math|''&phi;''(''t'', ''x'')}} を {{Math|''&phi;''<sup>''t''</sup> (''x'')}} と表す。{{Math|''&phi;''<sup>''t''</sup> (''x'')}} で定められた {{Math|''&phi;''<sup>''t''</sup> :  ''X'' &rarr; ''X''}} が、任意の {{Math|''t'' &isin; &Ropf;}} と任意の {{Math|''x'' &isin; ''X''}} について

{{NumBlk|:|<math> \varphi^{t} \circ  \varphi^{s} = \varphi^{t+s} </math>|{{EquationRef|1}}}}
{{NumBlk|:|<math> \varphi^{0} = \text{id}_{X} </math>|{{EquationRef|2}}}}

を充たすとき、写像の[[族 (数学)|族]] {{Math|{{Mset|''&phi;''<sup>''t''</sup>|''t'' &isin; &Ropf;}}}} を'''流れ'''と呼ぶ{{Sfn|浅岡|2023|p=11}}。ここで {{Math|&Ropf;}} は[[実数]]全体の集合、{{Math|id<sub>''X''</sub>}} は[[恒等写像]]を表す。

流れが充たすべき性質 ({{EqNoteN|1}}) ({{EqNoteN|2}}) は、考察するシステムの状態が[[決定論]]的に決まり、初期状態と負の時間も含めた経過した時間だけが変化を決めるという仮定から導かれるものである{{Sfn|青木・白岩|2013|pp=14&ndash;15}}。時刻 {{Math|''t''<sub>1</sub> &isin; &Ropf;}} で状態 {{Math|''x''<sub>1</sub> &isin; ''X''}} になり、時刻 {{Math|''t''<sub>2</sub> &isin; &Ropf;}} で状態 {{Math|''x''<sub>2</sub> &isin; ''X''}} になるようなシステムがあるとする。ここでいう決定論的とは、{{Math|''x''<sub>2</sub>}} は {{Math|''t''<sub>1</sub>, ''x''<sub>1</sub>, ''t''<sub>2</sub>}} が決まれば一意的に決まることを言う{{Sfn|青木・白岩|2013|p=15}}。初期状態と負の時間も含めた経過した時間だけが変化を決めるとは、{{Math|''x''<sub>1</sub>}} と {{Math|''t'' {{=}} ''t''<sub>2</sub> &minus; ''t''<sub>1</sub>}} だけで {{Math|''x''<sub>2</sub>}} が一意的に決まることを言う{{Sfn|青木・白岩|2013|p=15}}。簡単に言うと、充たすべき性質 ({{EqNoteN|1}}) ({{EqNoteN|2}}) は、ある初期状態が {{Mvar|t}} 時間経ち更に {{Mvar|s}} 時間経ってたどり着く状態は、同じ初期状態が {{Math|''t'' + ''s''}} 時間経ってたどり着く状態と同じ、ということを意味している{{Sfn|千葉|2021|p=124}}。流れを連続写像とする仮定は、充分に近い（似た）2つの初期状態から出発すれば、ほとんど同じ時間経過後のそれぞれの状態も近い（似ている）ということを意味する{{Sfn|青木・白岩|2013|p=15}}。

流れ {{Math|{{Mset|''&phi;''<sup>''t''</sup>|''t'' &isin; &Ropf;}}}} を'''連続力学系'''や'''連続時間の力学系'''あるいは単に'''[[力学系]]'''と呼ぶこともある{{Sfn|久保・矢野|2018|p=1}}{{Sfn|高橋|2004|p=82}}{{Sfn|今・竹内|2018|p=144}}。各写像 {{Math|''&phi;''<sup>''t''</sup> :  ''X'' &rarr; ''X''}} は、これら自体も流れと呼んだり{{Sfn|伊藤|1998|p=60}}、'''時間 {{Mvar|t}} 写像'''と呼んだりする{{Sfn|國府|2000|p=4}}。また、流れを元の表記、すなわち直積集合 {{Math|&Ropf; &times; ''X''}} から集合 {{Mvar|X}} への連続写像 {{Math|''&phi;'' : &Ropf; &times; ''X'' &rarr; ''X''}}, ({{Math|''&phi;''(''t'', ''x'')}}) で表すこともある{{Sfn|浅岡|2023|p=11}}{{Sfn|今・竹内|2018|p=142}}。この表記で流れの性質 ({{EqNoteN|1}}) ({{EqNoteN|2}}) を表すと、

{{NumBlk|:|<math> \varphi (t, \varphi(s,x)) =  \varphi(t+s,x) </math>|{{EquationRef|1'}}}}
{{NumBlk|:|<math> \varphi(0, x) = x </math>|{{EquationRef|2'}}}}

である{{Sfn|浅岡|2023|p=11}}{{Sfn|今・竹内|2018|p=144}}。

性質 ({{EqNoteN|1}}) ({{EqNoteN|2}}) より、{{Math|''&phi;''<sup>&minus;''t''</sup>}} は {{Math|''&phi;''<sup>''t''</sup>}} の[[逆写像]]となるため、{{Math|''&phi;''<sup>''t''</sup>}} は[[同相写像]]でもある{{Sfn|浅岡|2023|p=11}}。これら性質によって、流れ {{Math|{{Mset|''&phi;''<sup>''t''</sup>|''t'' &isin; &Ropf;}}}} は[[群 (数学)|群構造]]を持つ{{Sfn|久保・矢野|2018|p=1}}。群論の言葉で言えば、写像族 {{Math|{{Mset|''&phi;''<sup>''t''</sup>|''t'' &isin; &Ropf;}}}} は[[加法群]] {{Math|&Ropf;}} の[[相空間]]への[[群作用]]を定めている{{Sfn|荒井|2020|p=41}}{{Sfn|國府|2000|p=5}}。流れ {{Math|{{Mset|''&phi;''<sup>''t''</sup>|''t'' &isin; &Ropf;}}}} が与えれると、点 {{Math|''x''<sub>0</sub>}} を通る[[軌道 (力学系)|軌道]]

{{NumBlk|:|<math> O(x_0) = \left \{ \varphi^{t}(x_0)|t \in \mathbb{R} \right \}</math>|{{EquationRef|3}} }} 

が定義できる{{Sfn|國府|2000|p=7}}。軌道は初期状態 {{Math|''x''<sub>0</sub>}} の {{Mvar|t}} 時間後の状態 {{Math|''&phi;''<sup>''t''</sup>(''x''<sub>0</sub>)}} について {{Mvar|t}} を変化させたときの軌跡なので、この流れによる {{Math|''x''<sub>0</sub>}} の時間発展の様子を表現する{{Sfn|國府|2000|p=7}}。

==ベクトル場が生成する流れ==
力学系の典型例は、[[自励系]]の[[常微分方程式]]の形で与えられる{{Sfn|青木・白岩|2013|p=17}}。{{Mvar|n}} 次元[[ユークリッド空間]] {{Math|&Ropf;<sup>''n''</sup>}} 上で、[[独立変数]]を {{Math|''t'' &isin; &Ropf;}} 、[[従属変数]]を {{Math|'''''x''''' &isin; &Ropf;<sup>''n''</sup>}} とする次のような自励系の常微分方程式で与えられているとする{{Sfn|千葉|2021|p=123}}。

{{NumBlk|:|<math> \frac{d  \boldsymbol{x} }{dt} = \boldsymbol{f}( \boldsymbol{x} )</math>|{{EquationRef|4}} }} 

この方程式の[[一般解|解]] {{Math|'''''x'''''(''t'')}} と書く。解の存在と一意性が充たされる[[初期値問題]] {{Math|''t'' {{=}} 0}} で  {{Math|'''''x'''''<sub>0</sub> {{=}} '''''x'''''(0)}} を通る場合を考え、この解を改めて {{Math|''&phi;''(''t'', '''''x'''''<sub>0</sub>)}} と表す。簡単のため、任意の {{Math|''t'' &isin; &Ropf;}} と {{Math|'''''x'''''<sub>0</sub> &isin; &Ropf;<sup>''n''</sup>}} について {{Math|''&phi;''(''t'', '''''x'''''<sub>0</sub>)}} が存在すると仮定する。

このとき、{{Math|''&phi;''}} は点 {{Math|'''''x'''''<sub>0</sub>}} を {{Mvar|t}} 時間後の点 {{Math|''&phi;''(''t'', '''''x'''''<sub>0</sub>)}} に対応付ける写像 {{Math|''&phi;''<sup>''t''</sup> :  &Ropf;<sup>''n''</sup> &rarr; &Ropf;<sup>''n''</sup>}} として機能し、性質 ({{EqNoteN|1}}) ({{EqNoteN|2}}) を充たす{{Sfn|千葉|2021|pp=123, 124}}。微分方程式の {{Math|'''''f'''''&thinsp;('''''x''''')}} は {{Math|&Ropf;<sup>''n''</sup>}} 上の[[ベクトル場]]を与えるので、{{Math|''&phi;''<sup>''t''</sup>}} はベクトル場 {{Mvar|'''f'''}} の'''流れ'''{{Sfn|千葉|2021|p=123}}やベクトル場 {{Mvar|'''f'''}} が'''生成する流れ'''などと呼ばれる{{Sfn|荒井|2020|p=39}}{{Sfn|高橋|2004|p=85}}。

逆に、流れ {{Math|''&phi;''<sup>''t''</sup>}} が {{Mvar|t}} について微分可能ならば、ある自励系常微分方程式を定めることもできる{{Sfn|高橋|2004|pp=82&ndash;83}}。ベクトル場 {{Mvar|'''f'''}} が [[微分可能関数|{{Mvar|C<sup>r</sup>}} 級]]であれば、それから生成される流れ {{Math|''&phi;''<sup>''t''</sup>}} は {{Mvar|C<sup>r</sup>}} 級微分同相写像である{{Sfn|千葉|2021|p=124}}。

==出典==
{{Reflist|2}}

==参照文献==
*{{Cite book ja-jp 
|author = 浅岡 正幸
|title = 幾何学百科Ⅲ 力学系と大域幾何 
|chapter = アノソフ系と多様体上の双曲力学系
|url = https://www.asakura.co.jp/detail.php?book_code=11618
|publisher = 朝倉書店
|edition = 初版 
|year = 2023
|isbn = 978-4-254-11618-2
|ref = {{SfnRef|浅岡|2023}}
}}
*{{Cite book ja-jp 
|author= 久保 泉・矢野 公一 
|title= 力学系 
|url = https://www.iwanami.co.jp/book/b355613.html
|publisher= 岩波書店 
|edition= オンデマンド版 
|year= 2018 
|isbn= 978-4-00-730742-3
|ref= {{SfnRef|久保・矢野|2018}}
}}
*{{Cite book ja-jp
|author = 國府 寛司
|title = 力学系の基礎
|series = カオス全書2
|publisher = 朝倉書店
|year = 2000
|edition = 初版
|isbn = 4-254-12672-7
|ref = {{SfnRef|國府|2000}}
}}
*{{Cite book ja-jp 
|author = 高橋 陽一郎 
|title = 力学と微分方程式 
|url = https://www.iwanami.co.jp/book/b259038.html 
|series = 現代数学への入門 
|publisher = 岩波書店 
|year = 2004 
|edition = 初版 
|isbn = 4-00-006875-X 
|ref = {{SfnRef|高橋|2004}}
}}
*{{Cite book ja-jp 
|author = 青木 統夫・白岩 謙一 
|title = 力学系とエントロピー 
|url = https://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320110434 
|publisher = 共立出版 
|edition = 復刊 
|year = 2013 
|isbn = 978-4-320-11043-4 
|ref = {{SfnRef|青木・白岩|2013}}
}}
*{{Cite book ja-jp 
|author = 千葉 逸人
|title = 解くための微分方程式と力学系理論
|url = https://www.gensu.jp/product/%e8%a7%a3%e3%81%8f%e3%81%9f%e3%82%81%e3%81%ae%e5%be%ae%e5%88%86%e6%96%b9%e7%a8%8b%e5%bc%8f%e3%81%a8%e5%8a%9b%e5%ad%a6%e7%b3%bb%e7%90%86%e8%ab%96/
|publisher = 現代数学社
|edition= 初版 
|year = 2021
|isbn = 978-4-7687-0570-4
|ref = {{SfnRef|千葉|2021}}
}}
*{{Cite book ja-jp 
|author = 荒井 迅
|title = 常微分方程式の解法
|url = https://www.kyoritsu-pub.co.jp/book/b10003676.html
|series = 共立講座 数学探検 15
|publisher = 共立出版
|edition= 初版 
|year = 2020
|isbn = 978-4-320-11188-2
|ref = {{SfnRef|荒井|2020}}
}}
*{{Cite book ja-jp 
|author = 伊藤 秀一 
|title = 常微分方程式と解析力学 
|url = https://www.kyoritsu-pub.co.jp/book/b10011768.html
|series = 共立講座 21世紀の数学 11 
|publisher = 共立出版 
|edition = 初版
|year = 1998
|isbn = 4-320-01563-0
|ref = {{SfnRef|伊藤|1998}}
}}
*{{Cite book ja-jp 
|author = 今 隆助・竹内 康博 
|title = 常微分方程式とロトカ・ヴォルテラ方程式 
|url = https://www.kyoritsu-pub.co.jp/book/b10003115.html
|publisher = 共立出版 
|year = 2018 
|edition = 初版 
|isbn = 978-4-320-11348-0 
|ref= {{SfnRef|今・竹内|2018}}
}}
==外部リンク==
*[https://encyclopediaofmath.org/wiki/Flow_(continuous-time_dynamical_system) Flow (continuous-time dynamical system)] - Encyclopedia of Mathematics

{{DEFAULTSORT:なかれすうかく}}
[[Category:力学系]]
[[Category:群作用]]
[[Category:数学に関する記事]]