混合体積のソースを表示

{{Otheruses|2=[[化学]]における[[混合]]|3=混合物}}

{{仮リンク|凸幾何学|en|Convex geometry}}における'''混合体積'''（こんごうたいせき<ref>{{Cite book|和書 |title=新訂版　数学用語 英和辞典: 和英索引付き |url=https://www.google.co.jp/books/edition/%E6%96%B0%E8%A8%82%E7%89%88_%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%94%A8%E8%AA%9E_%E8%8B%B1%E5%92%8C%E8%BE%9E%E5%85%B8/SHMNEAAAQBAJ?hl=ja&gbpv=1&dq=%E6%B7%B7%E5%90%88%E4%BD%93%E7%A9%8D+mixed+volume&pg=PA228&printsec=frontcover |publisher=近代科学社 |date=2020-12-02 |isbn=978-4-7649-0624-2 |language=ja |page=228}}</ref><ref>{{Cite book|和書 |title=高等数学叢書 第7 |year=1940 |publisher=[[岩波書店]] |page=445 |author=[[窪田忠彦]] |id={{NDLJP|1172588}}}}</ref><ref>{{Cite book |title=数学 |url=https://www.google.co.jp/books/edition/%E6%95%B0%E5%AD%A6/eKjxAAAAMAAJ?hl=ja&gbpv=1&bsq=%22%E6%B7%B7%E5%90%88%E4%BD%93%E7%A9%8D%22&dq=%22%E6%B7%B7%E5%90%88%E4%BD%93%E7%A9%8D%22&printsec=frontcover |publisher=Mathematical Society of Japan |date=1981 |language=ja}}</ref>、mixed volume）とは、<math>\mathbb{R}^n</math>上のいくつかの{{仮リンク|凸体|en|Convex body}}の組と[[非負|非負数]]を特徴づける手法である。凸体の形状と大きさ、相対的な方向に依存する。

== 定義 ==
<math>K_1, K_2, \dots, K_r</math>を<math>\mathbb{R}^n</math>上の凸体とする。次の[[関数 (数学)|関数]]を考える。

: <math> f(\lambda_1, \ldots, \lambda_r) 
= \mathrm{Vol}_n (\lambda_1 K_1 + \cdots + \lambda_r K_r), \qquad \lambda_i \geq 0, </math>

ここで<math>\text{Vol}_n</math>は<math>n</math>次元[[体積]]、<math>\text{Vol}_n</math>内の[[加法記号|加法]]は[[相似変換 (幾何学)|拡大縮小]]された<math>K_i</math>に関する{{仮リンク|ミンコフスキー演算|en|Minkowski addition|label=ミンコフスキー和}}である。<math>f</math>は<math>n</math>次[[斉次多項式]]であることが分かり、次のように書ける。

: <math> f(\lambda_1, \ldots, \lambda_r)
 = \sum_{j_1, \ldots, j_n = 1}^r V(K_{j_1}, \ldots, K_{j_n}) 
   \lambda_{j_1} \cdots \lambda_{j_n},  </math>

ただし、<math>V</math>は[[対称関数]]である。インデックス<math> j \in \{1,\ldots,r\}^n </math> について、係数<math>V(K_{j_1}, \dots, K_{j_n})</math>を<math>K_{j_1}, \dots, K_{j_n}</math>の混合体積という。

== 性質 ==

* 混合体積は次の3つの性質で特徴づけられる。

# <math>
V(K, \dots, K) =\text{Vol}_n (K)</math>
# <math>V</math> は対称関数。
# <math>V</math>は[[多重線型形式|多重線型形]]。つまり、<math>
\lambda,\lambda' \geq 0</math>について、<math>
V(\lambda K + \lambda' K', K_2, \dots, K_n) = \lambda V(K, K_2, \dots, K_n)
+ \lambda' V(K', K_2, \dots, K_n)</math> 

* 混合体積は非負で、各変数において[[単調増加]]。つまり<math>
K_1 \subseteq K_1'</math>とすれば、 <math>
V(K_1, K_2, \ldots, K_n) \leq V(K_1', K_2, \ldots, K_n)</math>。
* {{仮リンク|アレクサンドル・アレクサンドロフ (数学者)|en|Aleksandr Aleksandrov (mathematician)|label=アレクサンドル・アレクサンドロフ}}と{{仮リンク|ヴェルナー・フェンシェル|en|Werner Fenchel}}の発見によれば、次の[[不等式]]が成立する（アレクサンドロフ＝フェンシェル不等式）。

:: <math> V(K_1, K_2, K_3, \ldots, K_n) \geq \sqrt{V(K_1, K_1, K_3, \ldots, K_n) V(K_2,K_2, K_3,\ldots,K_n)}.</math>

: {{仮リンク|ブルン＝ミンコフスキーの定理|en|Brunn–Minkowski theorem|label=ブルン＝ミンコフスキーの不等式}}や{{仮リンク|ミンコフスキーの第一不等式|en|Minkowski's first inequality for convex bodies|label=凸体におけるミンコフスキーの第一不等式}}のような多くの不等式は、このアレクサンドロフ＝フェンシェル不等式の系である。

== Quermassintegrals ==
<math>K \subset \mathbb{R}^n</math>を凸体、<math>B = B_n \subset \mathbb{R}^n</math>を[[単位球]]とする。

: <math> W_j(K) = V(\overset{n-j \text{ times}}{\overbrace{K,K, \ldots,K}}, \overset{j \text{ times}}{\overbrace{B,B,\ldots,B}})</math>

は<math>K</math>の ''j''-th '''quermassintegral''' と呼ばれる<ref>{{Cite journal|last=McMullen|first=Peter|author-link=Peter McMullen|year=1991|title=Inequalities between intrinsic volumes|journal=Monatshefte für Mathematik|volume=111|issue=1|pages=47&ndash;53|doi=10.1007/bf01299276|MR=1089383}}</ref>。

混合体積の定義より'''シュタイナーの公式'''（Steiner formula）と呼ばれる次の式が成立する。[[ヤコブ・シュタイナー]]の名を冠する。

: <math> \mathrm{Vol}_n(K + tB)
 = \sum_{j=0}^n \binom{n}{j} W_j(K) t^j.</math>

=== Intrinsic volumes ===
<math>K</math>の ''j''-th '''intrinsic volume''' はquermassintegralの異なる正規化物である。次の式で定義される。

: <math> V_j(K) = \binom{n}{j} \frac{W_{n-j}(K)}{\kappa_{n-j}},</math>
: つまり、
: <math> \mathrm{Vol}_n(K + tB) = \sum_{j=0}^n V_j(K)\, \mathrm{Vol}_{n-j}(tB_{n-j}).</math>

ここで<math>\kappa_{n-j} = \text{Vol}_{n-j} (B_{n-j})</math>は、<math>(n-j)</math>次元単位球の体積。

=== ハドヴィガーの定理 ===
{{Main|ハドヴィガーの定理}}
ハドヴィガーの定理は、<math>\mathbb{R}^n</math>内の凸体上の剛体運動の下で不変で連続な任意の付値はquermassintegral（またはintrinsic volume）の[[線型結合]]で表すことができることを主張する<ref>{{Cite journal|last=Klain|first=Daniel A.|year=1995|title=A short proof of Hadwiger's characterization theorem|journal=[[Mathematika]]|volume=42|issue=2|pages=329&ndash;339|doi=10.1112/s0025579300014625|MR=1376731}}</ref>。

== 脚注 ==
{{Reflist}}

== 外部リンク ==

* {{SpringerEOM|id=Mixed-volume_theory|title=Mixed-volume theory|first=Yu.D.|last=Burago}}
* [https://www.rimath.saitama-u.ac.jp/lab.jp/Fukui/lectures/Tokron_Note.pdf 数学特別講義 特異点入門]
* [https://www.juen.ac.jp/math/nakagawa/Isoperimetric.pdf 等周不等式について]

{{デフォルトソート:こんこうたいせき}}
[[Category:凸幾何学]]
[[Category:数学に関する記事]]