混合体積

テンプレート:仮リンクにおける混合体積（こんごうたいせき^[1]^[2]^[3]、mixed volume）とは、 $ℝ^{n}$ 上のいくつかのテンプレート:仮リンクの組と非負数を特徴づける手法である。凸体の形状と大きさ、相対的な方向に依存する。

定義

$K_{1}, K_{2}, \dots, K_{r}$ を $ℝ^{n}$ 上の凸体とする。次の関数を考える。

f (λ_{1}, \dots, λ_{r}) = {V o l}_{n} (λ_{1} K_{1} + \dots + λ_{r} K_{r}), λ_{i} \geq 0,

ここで ${Vol}_{n}$ は $n$ 次元体積、 ${Vol}_{n}$ 内の加法は拡大縮小された $K_{i}$ に関するテンプレート:仮リンクである。 $f$ は $n$ 次斉次多項式であることが分かり、次のように書ける。

f (λ_{1}, \dots, λ_{r}) = \sum_{j_{1}, \dots, j_{n} = 1}^{r} V (K_{j_{1}}, \dots, K_{j_{n}}) λ_{j_{1}} \dots λ_{j_{n}},

ただし、 $V$ は対称関数である。インデックス $j \in {1, \dots, r}^{n}$ について、係数 $V (K_{j_{1}}, \dots, K_{j_{n}})$ を $K_{j_{1}}, \dots, K_{j_{n}}$ の混合体積という。

$V (K, \dots, K) = {Vol}_{n} (K)$
$V$ は対称関数。
$V$ は多重線型形。つまり、 $λ, λ^{'} \geq 0$ について、 $V (λ K + λ^{'} K^{'}, K_{2}, \dots, K_{n}) = λ V (K, K_{2}, \dots, K_{n}) + λ^{'} V (K^{'}, K_{2}, \dots, K_{n})$

混合体積は非負で、各変数において単調増加。つまり $K_{1} \subseteq {K_{1}}^{'}$ とすれば、 $V (K_{1}, K_{2}, \dots, K_{n}) \leq V ({K_{1}}^{'}, K_{2}, \dots, K_{n})$ 。
テンプレート:仮リンクとテンプレート:仮リンクの発見によれば、次の不等式が成立する（アレクサンドロフ＝フェンシェル不等式）。

V (K_{1}, K_{2}, K_{3}, \dots, K_{n}) \geq \sqrt{V (K_{1}, K_{1}, K_{3}, \dots, K_{n}) V (K_{2}, K_{2}, K_{3}, \dots, K_{n})} .

テンプレート:仮リンクやテンプレート:仮リンクのような多くの不等式は、このアレクサンドロフ＝フェンシェル不等式の系である。

$K \subset ℝ^{n}$ を凸体、 $B = B_{n} \subset ℝ^{n}$ を単位球とする。

W_{j} (K) = V (\overset{n - j times}{\overset{⏞}{K, K, \dots, K}}, \overset{j times}{\overset{⏞}{B, B, \dots, B}})

は $K$ の j-th quermassintegral と呼ばれる^[4]。

混合体積の定義よりシュタイナーの公式（Steiner formula）と呼ばれる次の式が成立する。ヤコブ・シュタイナーの名を冠する。

{V o l}_{n} (K + t B) = \sum_{j = 0}^{n} (\binom{n}{j}) W_{j} (K) t^{j} .

$K$ の j-th intrinsic volume はquermassintegralの異なる正規化物である。次の式で定義される。

V_{j} (K) = (\binom{n}{j}) \frac{W_{n - j} (K)}{κ_{n - j}},

つまり、

{V o l}_{n} (K + t B) = \sum_{j = 0}^{n} V_{j} (K) {V o l}_{n - j} (t B_{n - j}) .

ここで $κ_{n - j} = {Vol}_{n - j} (B_{n - j})$ は、 $(n - j)$ 次元単位球の体積。

テンプレート:Main ハドヴィガーの定理は、 $ℝ^{n}$ 内の凸体上の剛体運動の下で不変で連続な任意の付値はquermassintegral（またはintrinsic volume）の線型結合で表すことができることを主張する^[5]。