混線内接円のソースを表示

'''混線内接円'''<ref>{{Cite book|和書 |title=数学オリンピック幾何への挑戦：ユークリッド幾何学をめぐる船旅 |year=2023 |publisher=日本評論社 |page=98 |last=チェン |first=エヴァン}}</ref>（こんせんないせつえん、{{Lang-en-short|mixtilinear incircle}}）とは、ある[[三角形]]の二辺に接し、かつその[[外接円]]に内接する円のことである。三角形の頂点 <math>A</math> を含む二辺に接する混線内接円は <math>A</math> 混線内接円と呼ぶ。すべての三角形は、各頂点に一意に対応する三つの混線内接円を持つ。
[[File:Mixtilinear_incircle.png|リンク=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Mixtilinear_incircle.png|サムネイル|350x350ピクセル|三角形 <math>ABC</math> の <math>A</math> 混線内接円]]

== 一意に存在することの証明 ==
三角形 <math>ABC</math> の <math>A</math> [[三角形の内接円と傍接円|傍接円]]は一意に存在する。<math>A</math> を中心とし <math>\sqrt{AB \cdot AC}</math> を半径とする[[反転幾何学|反転]]と、角 <math>A</math> の二等分線に関する[[鏡映]]を[[写像の合成|合成]]することで定義される[[変換 (数学)|変換]]を <math>\Phi</math> とする。反転と鏡映は[[全単射]]であり接点が不変に保たれるので、<math>\Phi</math> も同様である。このとき、<math>\Phi</math> による <math>A</math> 傍接円の[[像 (数学)|像]]は、辺 <math>AB</math> と辺 <math>AC</math> に内接し、かつ三角形 <math>ABC</math> の外接円に接するので、すなわち <math>A</math> 混線内接円である。したがって、<math>A</math> 混線内接円は一意に存在し、同様の議論により <math>B</math> と <math>C</math> に対しても同じことが示される<ref name=":12">{{Cite web |last=Baca |first=Jafet |title=On Mixtilinear Incircles |url=https://www.awesomemath.org/wp-pdf-files/math-reflections/mr-2020-02/mr_2_2020_mixtilinear.pdf |url-status=live |access-date=October 27, 2021}}</ref>。

== 作図 ==
[[File:Mixtilinear_incircle_construction.png|リンク=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Mixtilinear_incircle_construction.png|サムネイル|400x400ピクセル|六角形 <math>XCABYT_A</math> とその三組の対辺の交点 <math>D, I, E</math>]]
<math>A</math> 混線内接円は次の手順を踏むことにより[[定規とコンパスによる作図|作図]]できる<ref>{{Cite web |last=Weisstein |first=Eric W. |title=Mixtilinear Incircles |url=https://mathworld.wolfram.com/MixtilinearIncircles.html |access-date=2021-10-31 |website=mathworld.wolfram.com |language=en}}</ref>。

# 角の二等分線を交わらせることで[[内心]] <math>I</math> を描く。
# <math>I</math> を通り直線 <math>AI</math> に垂直な直線を描き、直線 <math>AB</math> と <math>AC</math> との交点をそれぞれ点 <math>D</math> と <math>E</math> とする。これらは混線内接円が接する点になる。
# 点 <math>D</math> と <math>E</math> からそれぞれ <math>AB</math> と <math>AC</math> の垂線を描き、その交点を <math>O_A</math> とする。<math>O_A</math> を中心とし <math>O_AE</math> を半径とする円が混線内接円である。

この作図は次の事実により保証されている。

=== 補題（ニクソンの定理） ===
この内心は、混線内接円が二辺と接する点の中点である<ref>{{Cite journal|author=Nguyen Chuong Chi|year=2018|title=A Proof of Dao’s Generalization of the Sawayama  Lemma|url=https://journal-1.eu/2018/Nguyen%20Chuong%20Chi%20-%20Dao's%20generalization.pdf|journal=International Journal of Computer Discovered Mathematics|volume=Volume 3|pages=1-4}}</ref><ref>{{Cite web |url=https://forumgeom.fau.edu/FG2003volume3/FG200325.pdf |title=Sawayama and Thebault’s theorem |access-date=2024/5/19 |publisher=Forum Geometricorum |author=Jean-Louis Ayme}}</ref>。

=== 証明 ===
<math>\Gamma</math> を三角形 <math>ABC</math> の外接円とし、<math>T_A</math> を <math>A</math> 混線内接円 <math>\Omega_A</math> と <math>\Gamma</math> の接点とする。<math>T_A</math> と異なる点 <math>X</math> と <math>Y</math> を、それぞれ <math>T_AD</math> と <math>\Gamma</math> の、<math>T_AE</math> と <math>\Gamma</math> の交点とする。<math>T_A</math> を中心として <math>\Omega_A</math> と <math>\Gamma</math> のあいだに相似変換を施すことにより、<math>X</math> と <math>Y</math> がそれぞれ <math>\Gamma  </math> の弧 <math>AB </math> と <math>AC </math> の中点であることがわかる。[[円周角の定理]]により、<math>X, I, C </math> と <math>Y, I, B </math> がそれぞれ[[共線]]な点の三つ組であることがわかる。[[パスカルの定理]]を <math>\Gamma </math> に接する六角形 <math>XCABYT_A </math> に適用することにより、<math>D, I, E </math> が共線であることがわかる。角 <math>\angle{DAI} </math> と <math>\angle{IAE} </math> が等しいことから、<math>I </math> が線分 <math>DE </math> の中点であることが従う<ref name=":12">{{Cite web |last=Baca |first=Jafet |title=On Mixtilinear Incircles |url=https://www.awesomemath.org/wp-pdf-files/math-reflections/mr-2020-02/mr_2_2020_mixtilinear.pdf |url-status=live |access-date=October 27, 2021}}</ref>。

== 他の性質 ==

=== 半径 ===
次の公式は内接円の半径 <math>r</math> と三角形 <math>ABC</math> の <math>A</math> 混線内接円の半径 <math>\rho_A</math> を結びつける<ref name=":0">{{Cite journal|last=Yui|first=Paul|date=April 23, 2018|title=Mixtilinear Incircles|url=https://www.tandfonline.com/doi/pdf/10.1080/00029890.1999.12005146|journal=The American Mathematical Monthly|volume=106|issue=10|pages=952–955|doi=10.1080/00029890.1999.12005146|url-status=live|access-date=October 27, 2021}}</ref>。

<math display="block">r=\rho_A\cos^2{\frac{A}{2}}</math>

このことから即座に次の式が従う：

<math display="block">AD=AE=\frac{\rho_A}{\tan\frac{A}{2}}=\frac{2r}{\sin{A}}=\frac{bc}{s}</math>

ただし <math>s</math> は[[半周長]]であり、またこの式は点 <math>A, B, C</math> と円 <math>O</math> に対して[[ケイシーの定理]]を適用することにより得ることもできる<ref>{{Cite book|和書|title=幾何学大辞典 補巻2|publisher=槙書店|isbn=4837506119|year=1993|page=23|author=岩田至康}}</ref>。

=== 外接円の点との関係 ===

* 点 <math>A</math> を含む弧 <math>BC</math> の中点は直線 <math>T_AI</math> 上にある<ref name=":2">{{Cite book|last=Chen|first=Evan|title=Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads|publisher=MAA|year=2016|isbn=978-1-61444-411-4|location=United States of America|pages=68}}</ref><ref name=":3">{{Cite web |last=Nguyen |first=Khoa Lu |date=2006 |title=On Mixtilinear Incircles and Excircles |url=https://forumgeom.fau.edu/FG2006volume6/FG200601.pdf |url-status=live |access-date=November 27, 2021 |publisher=[[Forum Geometricorum]]}}</ref>。
* 四角形 <math>T_AXAY</math> は調和四角形である。すなわち、<math>T_AA</math> は三角形 <math>XT_AY</math> の[[類似中線]]である<ref name=":12">{{Cite web |last=Baca |first=Jafet |title=On Mixtilinear Incircles |url=https://www.awesomemath.org/wp-pdf-files/math-reflections/mr-2020-02/mr_2_2020_mixtilinear.pdf |url-status=live |access-date=October 27, 2021}}</ref>。

=== 外接円との接点に関連する円 ===

* <math>T_ABDI</math> と <math>T_ACEI</math> は[[共円四辺形]]である<ref name=":2">{{Cite book|last=Chen|first=Evan|title=Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads|publisher=MAA|year=2016|isbn=978-1-61444-411-4|location=United States of America|pages=68}}</ref>。

=== 螺旋相似 ===

* <math>T_A</math> は <math>B</math> と <math>I</math> をそれぞれ <math>I</math> と <math>C</math> に写す{{仮リンク|螺旋相似|en|Spiral similarity}}の中心である<ref name=":12">{{Cite web |last=Baca |first=Jafet |title=On Mixtilinear Incircles |url=https://www.awesomemath.org/wp-pdf-files/math-reflections/mr-2020-02/mr_2_2020_mixtilinear.pdf |url-status=live |access-date=October 27, 2021}}</ref>。

== 三つの混線内接円のあいだに成り立つ関係 ==

=== 頂点と接点を結ぶ直線 ===
各頂点と、それに対応する混線内接円が外接円と接する点を結ぶ三直線は、内接円と外接円の[[相似の中心|外相似点]]で交わる。[[Encyclopedia of Triangle Centers]]では{{Math|''X''{{sub|56}}}}として紹介されている<ref>{{Cite web |title=ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS X(56) = EXSIMILICENTER(CIRCUMCIRCLE, INCIRCLE) |url=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/etc.html#X56 |access-date=2021-10-31 |website=faculty.evansville.edu}}</ref>。[[三線座標]]では <math>\frac{a}{c+a-b} : \frac{b}{c+a-b} : \frac{c}{a+b-c}</math> であり、[[重心座標]]では <math>\frac{a^2}{c+a-b} : \frac{b^2}{c+a-b} : \frac{c^2}{a+b-c}</math> である。

この点は、三角形の[[垂心]]とフォイエルバッハ点、[[ジェルゴンヌ点]]と[[シフラー点]]を通る直線上にある。また、[[ナーゲル点]]の[[等角共役]]である。混線内接円が外接円と接する点の成す三角形は第三混線三角形（3rd mixtilinear triangle）と呼ばれる<ref name=":1">{{Cite web |title=Index of triangles |url=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/IndexOfTrianglesReferencedInETC.html |website=faculty.evansville.edu |access-date=2024-05-11}}</ref>。

=== 根心 ===
三つの混線内接円の[[根心]] <math>J</math> は、<math>OI</math> を<math display="block">OJ:JI=2R:-r</math>に内分する。ここで <math>I</math> は内心、<math>r</math> は内半径、<math>O</math> は外心、<math>R</math> は外半径である<ref name=":3" />。

<math>J</math>は[[ミッテンプンクト]]の[[等角共役]]{{Math|''X''{{sub|57}}}}と内心の中点である。また、[[幾何中心|重心]]と{{仮リンク|ジョンソン中点|nl|Midden van Johnson}}と[[共線]]である。Encyclopedia of Triangle Centersでは{{Math|''X''{{sub|999}}}}に該当し三線座標は以下の式で与えられる<ref>{{Cite web |title=ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS X(999) = MIDPOINT OF X(1) AND X(57) |url=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#X999 |website=faculty.evansville.edu |access-date=2024-03-21}}</ref>。

<math>a(a^{2}+4bc-b^{2}-c^{2}):b(b^{2}+4 c a-c^{2}-a^{2}):c(c^{2}+4ab-a^{2}-b^{2})</math>

== 混線傍接円 ==
ある三角形の二辺に接し、かつその[[外接円]]に外接する円を'''混線傍接円'''（Mixtilinear excircles）という<ref name=":3" /><ref>{{Cite journal|author=Philip Todd|year=2006|url=https://journal.geometryexpressions.com/pdf/Mixtilinear.pdf#:~:text=A%20mixtilinear%20excircle%20is%20tangent%20to%202%20sides,of%20a%20triangle%20and%20%28externally%29%20to%20the%20circumcircle.|journal=The Journal of Symbolic Geometry|issue=Volume 1}}</ref><ref>{{Cite web |url=https://arxiv.org/pdf/1802.03543 |title=CREATIVE GEOMETRY |access-date=2024/6/23 |publisher=[[arXiv]]}}</ref><ref>{{Cite web |title=Mixtilinear |url=http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/eGallery/problems/Mixtilinear.html |website=users.math.uoc.gr |access-date=2024-06-23}}</ref>。混線内接円と同様に、二辺との接点の[[中点]]は[[傍心]]である。また、混線傍接円の中心の成す三角形は第ニ混線三角形（2nd mixtilinear triangle,outer-mixtilinear triangle）と呼ばれる<ref name=":1" />。

=== 頂点と接点を結ぶ直線 ===
各頂点と、それに対応する混線傍接円が外接円と接する点を結ぶ三直線は、内接円と外接円の内相似点で交わる。Encyclopedia of Triangle Centersでは {{Math|''X''{{sub|55}}}} として紹介されている<ref>{{Cite web |title=ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS X(55) = INSIMILICENTER(CIRCUMCIRCLE, INCIRCLE) |url=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#X55 |website=faculty.evansville.edu |access-date=2024-06-23}}</ref>。三線座標では<math>a(c+a-b) : b(c+a-b) :c(a+b-c)</math>であり、重心座標では<math>a^2(c+a-b) : b^2(c+a-b):c^2(a+b-c)</math>である。

この点はOI線、重心とフォイエルバッハ点、垂心とフォイエルバッハ点の[[調和共役 (幾何学)|調和共役]]、ナーゲル点とシフラー点を通る直線上にある。また、ジェルゴンヌ点の等角共役である。混線傍接円が外接円と接する点の成す三角形は第四混線三角形（4th mixtilinear triangle）と呼ばれる<ref name=":1" />。

=== 根心 ===
三つの混線傍接円の根心<math>J'</math>は<math>OI</math> を<math display="block">OJ':J'I=2R:4R-r</math>に内分する<ref name=":3" />。Encyclopedia of Triangle Centersでは{{Math|''X''{{sub|6244}}}}に該当し[[三線座標]]は以下の式で与えられる<ref>{{Cite web |title=ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS Part4 X(6244) =  1st-CIRCUMPERP-TRIANGLE-ORTHOLOGIC CENTER OF MIXTILINEAR TRIANGLE |url=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETCPart4.html#X6244 |website=faculty.evansville.edu |access-date=2024-06-23}}</ref>。<math display="block">f(a,b,c):f(b,c,a):f(c,a,b)</math>ただし<math display="block">f(a,b,c)=a(a^4-2(b+c)a^3+10a^2bc+2(b+c)(b^2+c^2-4bc)a-(4bc+b^2+c^2)(b-c)^2)</math>

=== アポロニウス円 ===
3つの混線傍接円の[[アポロニウスの問題|アポロニウス円]]（3つの混線傍接円に外接する円）の中心{{Math|''X''{{sub|8158}}}}はOI線上に存在する<ref>{{Cite web |title=ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS Part5 X(8158) =  CENTER OF THE APOLLONIAN CIRCLE OF THE EXTERNAL MIXTILINEAR CIRCLES |url=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETCPart5.html#X8158 |website=faculty.evansville.edu |access-date=2024-06-23}}</ref>。

== 関連 ==

* [[テボーの定理|曲線内接円]]

== 参考文献 ==
<references />
{{デフォルトソート:こんせんないせつえん}}
[[Category:初等幾何学]]
[[Category:円 (数学)]]
[[Category:三角形]]
[[Category:数学に関する記事]]