渦度・流れ関数法のソースを表示

{{出典の明記|date=2012年9月6日 (木) 07:38 (UTC)}}
'''渦度・流れ関数法'''とは、2次元非圧縮性[[ナビエ・ストークス方程式]]（NS方程式）の未知変数を減らして解析を簡単にするための手法のひとつ。NS方程式には未知変数が''x'' 方向速度、''y'' 方向速度、圧力の3つあるが、これを[[渦度]]&zeta;と[[流れ関数]]&psi;の2つにする方法である。

== 導出 ==
次の2式から始める：
; 2次元非圧縮性[[NS方程式]]
: <math>\frac{\partial\boldsymbol{u}}{\partial t}+(\boldsymbol{u}\cdot\nabla)\boldsymbol{u}=-\frac{1}{\rho}\nabla p + \nu\nabla^2\boldsymbol{u}</math>
; [[連続の式]]
: <math>\nabla\cdot\boldsymbol{u} = 0</math>
以上の2式には、未知変数が速度'''''u''''' の''x'' 方向成分、''y'' 方向成分、および圧力の3つある。NS方程式の[[回転 (ベクトル解析)|回転]]をとり、連続の式と連立させることによって、次の'''渦度輸送方程式'''を導くことができる:
: <math>\frac{\partial\zeta}{\partial t} + (\boldsymbol{u}\cdot\nabla)\zeta = \nu\nabla^2\zeta</math>
ここで、&zeta;は[[渦度]]である<ref>2次元流れのため、渦度ベクトルは流れの平面に直交する成分のみ値を持つ。</ref>：
: <math>\zeta = \operatorname{rot} \boldsymbol{u}</math>
さらに[[流れ関数]]&psi;を、次式を満たす関数と定義する：
: <math>\boldsymbol{u} = \left(\frac{\partial\psi}{\partial y},\,-\frac{\partial\psi}{\partial x}\right)</math>
すると次の式に書き換えることができる：
: <math>\nabla^2\psi = -\zeta</math>
: <math>\frac{\partial\zeta}{\partial t} + \frac{\partial\psi}{\partial y}\frac{\partial\zeta}{\partial x} - \frac{\partial\psi}{\partial x}\frac{\partial\zeta}{\partial y} = \nu\nabla^2\zeta</math>：渦度輸送方程式
上式は未知変数が渦度'''&zeta;'''と流れ関数&psi;の2つだけであり、元のNS方程式に比べ、解析が簡単になる。

== 脚注 ==
{{reflist}}
== 参考文献 ==
* {{cite|和書 |title=コンピュータによる流体力学 |author=Joel H. Ferziger |author2=Milovan Peri&#x107; |translator=小林敏雄、谷口伸行、坪倉誠 |publisher=シュプリンガー・フェアラーク東京 |year=2003 |isbn=4-431-70842-1 |page=176}}

{{DEFAULTSORT:うすとなかれかんすうほう}}
[[Category:流体力学]]

[[en:Stream_function#Vorticity]]